2013　東京海洋大学　前期海洋科学部MathJax

【１】　$3$次関数$f(x)=-x^3-x^2+8x+1$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数

$y=-{(\sin \theta +\cos \theta )}^3-{(\sin \theta +\cos \theta )}^2+8(\sin \theta +\cos \theta )+1$

の最大値と最小値を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}(1-t)\{a(x-t)+b\}dt$で定めると行き，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$を$a\text{，}b\text{，}x$で表せ．

(2)　直線$y=ax+b$が点$(1,1)$を通るとき，${\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^{2}dx$を最小にする$a$の値を求めよ．

【３】　$n$人でじゃんけんを$1$回する．ただし，どの人もグー，チョキ，パーを出す確率は等しくそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．また，「あいこ」とはじゃんけんで勝者が$1$人もいない状態のこととする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$n=3$のとき，「あいこ」となる確率を求めよ．

(2)　$n=4$のとき，勝者が$1$人である確率および勝者が$2$人である確率をそれぞれ求めよ．

(3)　$n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots$のとき「あいこ」となる確率を$n$を用いて表せ．

【４】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={27}^{n^2-3n-9}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$a_n$の値が最小となるときの$n$の値を求めよ．

【５】　座標空間における$5$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,\sqrt{2},1)\text{，}\mathrm{C}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}})\text{，}\mathrm{R}(0,-1,\sqrt{2})$について次の問に答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{AOC}\text{，}\angle \mathrm{BOC}\text{，}\angle \mathrm{AOR}\text{，}\angle \mathrm{BOR}$を求めよ．

(2)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は同一平面上にあることを示せ．

(3)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は正の実数$s\text{，}t$について$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたすものとする．$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{Q}$が$1$直線上にあるとき，四面体$\mathrm{OPQR}$の体積の最小値とそのときの$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．