2013　金沢大学　前期理工，医薬保健学域MathJax

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2013　金沢大学　前期　理工，医薬保健学域

易□　並□　難□

【１】　正の実数 $a ， b ， c$ に対して， $O$ を原点とする座標空間内に $3$ 点 $A (a, 0, 0) ， B (0, b, 0) ， C (0, 0, c)$ がある． $AC = 2 ， BC = 3$ かつ $▵ ABC$ の面積が $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ となるとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $\sin ∠ ACB$ の値を求めよ．また，線分 $AB$ の長さを求めよ．

(2)　 $a ， b ， c$ の値を求めよ．

(3)　四面体 $OABC$ の体積を求めよ．また，原点 $O$ から $▵ ABC$ に下ろした垂線の長さを求めよ．

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【２】　 $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ に対して，関数 $f (θ)$ を

$f (θ) = \frac{2}{3} \sin 3 θ - \sin θ - \sqrt{3} \cos θ$

とおく． $t = \sin θ + \sqrt{3} \cos θ$ とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $t$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　 $\sin 3 θ = 3 \sin θ - 4 \sin^{3} θ$ を示せ．また， $\frac{t^{3} - 3 t}{2} = \sin 3 θ$ が成り立つことを示せ．

(3)　 $f (θ)$ を $t$ の式で表せ．また，それを利用して $f (θ)$ の最大値と最小値，および最大値，最小値を与える $θ$ の値を求めよ．

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【３】　 $a > 0$ とする． $x ≧ 0$ における関数 $f (x) = e^{\sqrt{a x}}$ と曲線 $C : y = f (x)$ について，次の問いに答えよ．

(1)　 $C$ 上の点 $P (\frac{1}{a}, f (\frac{1}{a}))$ における接線 $l$ の方程式を求めよ．また， $P$ を通り $l$ に直交する直線 $m$ の方程式を求めよ．

(2)　定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{a}} f (x) d x$ を $t = \sqrt{a x}$ とおくことにより求めよ．

(3)　曲線 $C ，$ 直線 $y = 1$ および直線 $m$ で囲まれた図形の面積 $S (a)$ を求めよ．また， $a > 0$ における $S (a)$ の最小値とそれを与える $a$ の値を求めよ．

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【４】　行列 $A = (\begin{matrix} \frac{7}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{7}{2} \end{matrix}) ， E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ に対して，次の問いに答えよ．

(1)　実数 $x ， y ， u ， v$ が， $x A + y E = u A + v E$ を満たすならば， $x = u ， y = v$ であることを示せ．

(2)　 $A = a_{1} A + a_{1} E ， A^{2} = a_{2} A + b_{2} E$ となる実数 $a_{1} ， b_{1} ， a_{2} ， b_{2}$ を求めよ．

(3)　 $n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$ に対して， $A^{n} = a_{n} A + b_{n} E$ となる実数 $a_{n} ， b_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

(4)　 $n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$ に対して，実数 $c_{n} ， d_{n}$ が

$A + A^{2} + A^{3} + \dots + A^{n} = c_{n} A + d_{n} E$

を満たしているとき，極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{c_{n}}{d_{n}}$ を求めよ．

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