2013　信州大学　後期　理学部数IIIC医MathJax

【１】　整数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は逆行列をもつとする．この逆行列の成分がすべて整数であるための必要十分条件は，$ad-bc=1$または$ad-bc=-1$であることを示せ．

【２】　$a\ne 0$とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+bx+c}{x+2}}$は$f(-1)=0\text{，}f(2)=0$をみたし，$2$本の漸近線が点$(-2,5)$で交わるとする．$a\text{，}b\text{，}c$の値を求め，$f(x)$の極値および$2$本の漸近線の方程式を求めよ．またこの関数のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$0\leqq t\leqq 1$とする．連立不等式

$\{\begin{array}{l}{(x-t)}^2+y^2\leqq 1-t^2\\ x^2+y^2\geqq 1\end{array}$

の表す領域の面積が最大になるときの$t$の値を求めよ．

【１】　方程式$a\cdot 2^x-x^2=0$が異なる$3$つの解をもつような実数$a$をすべて求めよ．

【３】(1)　平面上において，原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,1)$に対して，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を考える．定数$s$と$t$が条件$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}1\leqq s+t\leqq 2$をみたしながら変わるとき，点$\mathrm{P}$の描く図形の面積を求めよ．さらに内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と最小値も求めよ．

【４】　不等式

$\pi (e-1)<{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^{|\cos 4x|}dx<2(e^{\frac{\pi }{2}}-1)$

が成り立つことを示せ．

【５】(1)　次の式が成り立つように，定数$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D$を定めよ．

${\displaystyle \frac{8}{x^4+4}}={\displaystyle \frac{Ax+B}{x^2+2x+2}}+{\displaystyle \frac{Cx+D}{x^2-2x+2}}$

(2)　$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{8}}\text{，}\tan {\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$の値を求めよ．

(3)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}{\displaystyle \frac{8}{x^4+4}}dx$