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2013-10441-0101
2013 岐阜大学 前期
教育(イ),(ロ),地域科,工,医(医,看護),応用生物学部
配点率20%
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b を正の実数とする. xy 平面上の放物線 y =x2 -2⁢a ⁢x と直線 y =b⁢x は原点 O と点 A の異なる 2 点で交わる.また,放物線の頂点を B とし,三角形 OAB を考える.以下の問に答えよ.
(1) 点 A および点 B の座標を定めよ.
(2) 三角形 OAB が直角三角形のとき, a と b の満たすべき条件を求めよ.
(3) a=b のとき, cos⁡∠ AOB を a を用いて表せ.
(4) a=b のとき,三角形 OAB の面積を a を用いて表せ.
2013-10441-0102
【2】 xy 平面上に中心 ( 1,0 ), 半径 2 の円 C がある.円 C と y 軸との交点のうち, y 座標が負である点を P とする.以下の問に答えよ.
(1) 点 P の座標を求めよ.
(2) 点 Q が円 C の周から点 P を覗いた部分を動くとき,線分 PQ の中点 R の軌跡を求めよ.
(3) 点 Q は円 C の周から点 P を覗いた部分を動くとする.また, k を 1 以外の正の実数とし,線分 PQ を k :1 に外分する点を S とする.このとき点 S の軌跡を求めよ.
(4) k=3 のとき,直線 y =x+a + 32 が(3)で求めた軌跡と共有点をもつような a の値の範囲を求めよ.
2013-10441-0103
【3】 1 から 9 までの数字が 1 つずつ重複せずに書かれた 9 枚のカードがある.そのうち 8 枚のカードを A ,B , C , D の 4 人に 2 枚ずつ分ける.以下の問に答えよ.
(1) 9 枚のカードの分け方は全部で何通りあるか.
(2) 各人が持っている 2 枚のカードに書かれた数の和が 4 人とも奇数である確率を求めよ.
(3) 各人が持っている 2 枚のカードに書かれた数の差が 4 人とも同じである確率を求めよ.ただし, 2 枚のカードに書かれた数の差とは,大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数である.
2013-10441-0104
教育(イ),地域科,医(看護),応用生物学部
【4】 中心を点 O とする半径 1 の円に内接する正六角形 H 1 があり,その頂点を反時計回りに A1 , B 1 , C1 , D 1 , E1 , F1 とする.辺 A1 B1 上に点 A2 を ∠ A1 O A2 =15⁢ ° を満たすようにとり,辺 B1 C1 上に点 B 2 を ∠ B1 O B2 =15⁢ ° を満たすようにとる.同様に,図のように辺 C1 D1 , D 1E 1 , E1 F1 , F1 A1 上にそれぞれ点 C2 , D 2 , E2 , F 2 をとり,点 A2 から点 F2 を頂点とする正六角形を H 2 とおく.
上の操作を再び正六角形 H 2 に対して行い,辺 A2 B2 , B 2C 2 , C2 D2 , D 2E 2 , E2 F2 , F 2A 2 上にそれぞれ点 A3 , B 3 , C3 , D 3 , E3 , F 3 をとり,これらを頂点とする正六角形を H 3 とおく.同様に 3 以上の整数 n に対して,上の操作を正六角形 H n に行うことにより得られる正六角形を H n+1 とおく.以下の問に答えよ.
(1) 辺 OA 2 の長さを求めよ.
(2) 正六角形 H 2 の面積 S 2 を求めよ.
(3) 正六角形 H n の面積 S n を n を用いて表せ.
2013-10441-0105
【5】 a→ , b→ , c→ , d→ は空間のベクトルであり,次の条件を満たしている.
a→ +b→ +c→ +d→ =0→
|a →| =|b →| =|c →| =|d →| =1
以下の問に答えよ.ここで 2 つのベクトルのなす角 θ は 0⁢ ° ≦θ≦ 180⁢ ° である.
(1) a→ と b → のなす角と c → と d → のなす角が等しいことを示せ.
(2) 内積 ( a→ +b→ )⋅ (b →+ c→ ) が 0 であることを示せ.
(3) a→ と b → のなす角と, b→ と c → のなす角が等しいとする.このとき, a→ と b → のなす角 θ は, cos⁡θ ≦0 を満たすことを示せ.
2013-10441-0106
教育(ロ),工,医(医)学部
【4】 正の整数 n について, x>0 で定義された関数 fn⁡ (x ) を次で定める.
f1⁡ (x) =x⁢log ⁡x
fn+ 1⁡( x)= (n+ 1)⁢ ∫ 1x fn⁡ (t) ⁢dt+ 1 n+1 ⁢( xn+1 -1 )
以下の問に答えよ.ただし, log⁡x は x の自然対数とする.
(1) 関数 f2⁡ (x ) を求めよ.
(2) 関数 fn⁡ (x ) の具体的な形を推測し,それを数学的帰納法で証明せよ.
(3) g⁡( x)= |f2 ⁡( x)| -|x -1| とおくとき, g⁡( x) が x =1 で微分可能であることを証明せよ.また,微分係数 g ′⁡( 1) を求めよ.
2013-10441-0107
【5】 a ,b を a2+ b 26 =1 を満たす正の実数とする.行列 A =( 2⁢2 ⁢a b -b -2 ⁢a ) に対して,以下の問に答えよ.
(1) 実数 p , q が A2=p ⁢A+q ⁢E を満たすとき, p ,q を a を用いて表せ.ただし, E は 2 次の単位行列とする.
(2) a= 12 のとき, ∑k=1 100 (-1 )k ⁢Ak を求めよ.
(3) a= 12 とし, m を正の整数とする. x と y についての方程式 Am⁢ ( x y )=( -x 0 ) が x =y=0 以外の解をもつとき, m の満たす条件を求めよ.