2013　静岡大学　後期MathJax

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{1-x^2}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の第$2$次までの導関数を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減，グラフの凹凸を調べて，そのグラフをかけ．

(3)　$0<a<1$とし，

$F(a)={\displaystyle {\int }_0^{1-a}}f(x)dx+{\displaystyle {\int }_{1+a}^2}f(x)dx$

とおく．このとき，$\underset{a\to +0}{\lim }F(x)$を求めよ．

【２】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\sin t-\sin x|dt$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(0)$を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【１】　$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=2\text{，}\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=1$の長方形$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$上（ただし，端点は除く）にそれぞれ点$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$をとり，$\mathrm{AK}=a\text{，}\mathrm{BL}=b\text{，}\mathrm{CM}=c\text{，}\mathrm{DN}=d$とおく．$a+b+c+d=3$を満たすとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積$S$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a+c=t$とおくとき，$S$を$t$を用いて表せ．

(2)　$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を実数とし，$A={\displaystyle \frac{1}{1+a^2}}\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& a^2\end{array}\right)\text{，}B={\displaystyle \frac{1}{1+b^2}}\left(\begin{array}{cc}1& b\\ b& b^2\end{array}\right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$y=ax$を$l$とし，点$\mathrm{P}$を直線$l$上にない点とする．点$\mathrm{P}$から直線$l$に引いた垂線と直線$l$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，行列$A$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$に移ることを示せ．

(2)　$n$を自然数とするとき，${(AB)}^n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法によって示せ．

(3)　自然数$n$に対して，$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)={(AB)}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$とするとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を$a>b>0\text{，}a+b=9$を満たす定数とする．$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{OB}=b\text{，}\mathrm{AB}=x$である$▵\mathrm{OAB}$の内接円の半径は，$x={(a-b)}^2$のとき最大になるという．このとき，$a$の値を求めよ．

【４】　点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{P}$から放物線$y=x^2$に$2$本の接線を引くことができ，それらの接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，$\angle \mathrm{APB}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たしながら動く．このような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【５】　球$x^2+y^2+z^2=1$の内部と$xy$平面内の領域$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leqq x\}$を底面とする高さが$1$の円柱の内部との胸痛部分を$A$とする．座標が$x\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$である$x$軸上の点を通り，$x$軸に垂直な平面による$A$の切り口の面積を$S(x)$とする．$0<x<1$のとき，$S(x)$は

$S(x)={\displaystyle {\int }_{-\sqrt{x-x^2}}^{\sqrt{x-x^2}}}\sqrt{1-x^2-y^2}dy$

で与えられ，$S(0)=S(1)=0$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$0<x<1$のとき，$y=\sqrt{1-x^2}\sin \theta$とおいて置換積分することにより，

$S(x)=(1-x)\sqrt{x}+(1-x^2)\theta (x)$

を示せ．ただし，$0\leqq x\leqq 1$に対して，$\theta (x)$は

$\sin \theta =\sqrt{{\displaystyle \frac{x}{1+x}}}\text{，}0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

を満たすただ$1$つの$\theta$を表す．

(2)　$g(t)={\tan }^{2}t$とする．$x=g(t)$とおいて置換積分し，次に部分積分法を用いて，

${\displaystyle {\int }_0^1}(1-x^2)\theta (x)dx={\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}(g(t)-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\{g(t)\}}^3)dt$

を示せ．

(3)　(2)の$g(t)$に対して，$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\{g(t)\}}^{n}dt\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$と定める．ただし，${\{g(t)\}}^0=1$とする．このとき，

$I_{n+1}+I_n={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を示し，$I_0\text{，}{I}_1\text{，}{I}_2\text{，}{I}_3$を求めよ．

(4)　立体$A$の体積を求めよ．

【２】　$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{OB}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$である三角形$\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{P}\text{，}$外心を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{b}{a+b+c}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{a}{a+b+c}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

と表されることを示せ．

(2)　$a=4\text{，}b=5\text{，}c=6$とし，$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$の大きさを求めよ．

(3)　$a=4\text{，}b=5\text{，}c=6$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさを求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を実数，$n$を自然数とし，

$A={\displaystyle \frac{1}{1+a^2}}\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& a^2\end{array}\right)\text{，}B={\displaystyle \frac{1}{1+b^2}}\left(\begin{array}{cc}1& b\\ b& b^2\end{array}\right)\text{，}{\lambda }_n={\displaystyle \frac{{(1+ab)}^{2n-1}}{{(1+a^2)}^n{(1+b^2)}^n}}$

とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　数学的帰納法を用いて，次の等式が成り立つことを示せ．

${(AB)}^n={\lambda }_n\left(\begin{array}{cc}2& b\\ a& ab\end{array}\right)$

(2)　すべての実数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{b}_1\text{，}{b}_2$に対して，不等式

${(a_1{b}_1+a_2{b}_2)}^2\leqq ({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)$

が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

(3)　自然数$n$に対して，$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)={(AB)}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$とするとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．