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2013-10501-0201
2013 三重大学 後期
教育,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) cos⁡α =cos⁡ β であるとき, α と β が満たす関係式を求めよ.
(2) 連立方程式
{ cos⁡x =cos⁡y cos⁡( x+y) -sin⁡x =0
を解け.ただし, 0≦x< 2⁢π , 0≦y< 2⁢π であるとする.
2013-10501-0202
【2】 行列 X を X =( 01 0 x0 0 1y -1 ) とし, A=X+ 2⁢E とおく.ただし, E は 3 次の単位行列である.以下の問いに答えよ.
(1) X2 =E となるように x , y を定めよ.またこのとき, A2 , A3 を X , E を用いて表せ.
(2) x ,y を(1)で定めたものとし, an , bn ( n は自然数)を An= an⁢ X+bn ⁢E となるものとする.このとき, an +1 , bn +1 を an ,bn で表せ.
(3) ( 11 -11 ) -1 ⁢( 21 12 )⁢( 11 -1 1) を計算せよ.また x , y を(1)で定めたものとしたとき, An+ 1 を求めよ.
2013-10501-0203
【3】 さいころを 3 回投げて出た目が順に a , b ,c であったとする.このとき a , b ,c を係数とする 2 次方程式 a ⁢x2 +b⁢x +c=0 を考える.
(1) この 2 次方程式が重解をもつとき, b は偶数であることを示せ.
(2) この 2 次方程式が重解をもつようなすべての組 ( a,b, c) を求め,重解をもつ確率を求めよ.
2013-10501-0204
教育,工,医学部
【4】 以下の問いに答えよ.
(1) 曲線 y =x2 -1 上の点 ( a,a 2-1 ) における接線の方程式を求めよ.ただし, a>1 とする.
(2) (1)で求めた接線と x 軸との交点の座標を求めよ.
(3) (1)で求めた接線と曲線 y =x2 -1 , および x 軸で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積が π6 となるときの a を求めよ.
2013-10501-0205
生物資源学部
【1】 次の各設問に答えよ.
(1) -90⁢ ° <x<90⁢ ° とする. 4⁢sin ⁡x+6 ⁢cos⁡x =2 のとき tan ⁡x を求めよ.
2013-10501-0206
(2) 方程式 log3⁡ (x 2+4 ⁢x-12 )=log 3⁡( 5⁢x- 6) を満たす x を求めよ.
2013-10501-0207
(3) 0≦x ≦2 において, x2 -4⁢a ⁢x+5 ⁢a>0 を満たす定数 a の範囲を求めよ.
2013-10501-0208
【2】 直線 y =x と直線 y =-2⁢ x に囲まれた y が正の領域において,図のように底辺が x 軸に平行で,底辺の 2 頂点が 2 直線に接する正方形が重なっている. 1 段目の正方形の一辺の長さが 1 のとき,次の各設問に答えよ.
(1) 1 段目の正方形が直線 y =x と接する点 A , 直線 y =-2⁢ x と接する点 B の座標をそれぞれ求めよ.
(2) 3 段目の 1 辺の長さを求めよ.
(3) n 段目の 1 辺の長さを L n としたとき, n+1 段目の 1 辺の長さ L n+1 を表す漸化式を求めよ.
2013-10501-0209
【3】 毎年の初めに q 円ずつ積み立てたとき,複利法で年利率 x⁢ % ( x> 0 ) の利息がつくとする. p=1+ x100 とすると, n 年目のはじめの貯金高 a n 円は,次の漸化式で表現できる.
a1 =q
an= p⁢a n-1 +q ( n= 2 ,3 , 4 ,⋯ )
(1) a1 , a3 , a4 を p , q を用いて求めよ.
(2) an の一般項を p , q ,n の式で表せ.
(3) 年利率 1⁢ % ( p= 1.01 ) で, 20 年目のはじめの貯金高が 20 万円に達する( a20≧ 200000 )のに必要な,毎年の積立金の最低額を求めよ.ただし, 1.0120 =1.22 とする.