2013　滋賀大学　前期MathJax

【１】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}=2\mathrm{AB}$とする．また，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点$\mathrm{E}$が$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{ACD}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．

(2)　$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}$を求めよ．

(3)　$\angle \mathrm{BAD}=120\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AB}=2$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$9$個のボールを持っていて，次のようなゲームを行う．まずどちらかが硬貨を投げ，表であれば$\mathrm{A}$の勝ち，裏であれば$\mathrm{B}$の勝ちとする．勝者は$0$から$3$までの数が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードから無作為に$1$枚を取り出し，書かれている数だけ敗者からボールを受け取る．ただし，取り出したカードはもとに戻すものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　このゲームを$2$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．

(2)　このゲームを$2$回続けて行ったとき，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$よりも$2$個多くボールを持っている確率を求めよ．

(3)　このゲームを$3$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．

【３】　関数$f(x)$は$f^{\prime }(x)=18{\displaystyle {\int }_0^1}xf(t)dt+1$を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx=0$のとき，$f(x)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx\ne 0$であり，方程式$f(x)=0$はただ$1$つの実数解をもつ．このとき，$f(x)$を求めよ．

【４】　$▵{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$において辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{O}}_1\text{，}{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1$の中点をそれぞれ${\mathrm{O}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2$とする．次に，$▵{\mathrm{O}}_2{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2$において辺${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2{\mathrm{O}}_2\text{，}$${\mathrm{O}}_2{\mathrm{A}}_2$の中点をそれぞれ${\mathrm{O}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{B}}_3$とする．これをくり返して，$▵{\mathrm{O}}_n{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$において辺${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n{\mathrm{O}}_n\text{，}$${\mathrm{O}}_n{\mathrm{A}}_n$の中点をそれぞれ${\mathrm{O}}_{n+1}\text{，}$$A_{n+1}\text{，}$${\mathrm{B}}_{n+1}$とする．ただし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$である．また，$\overrightarrow{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{B}}_1}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{5}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{3}{2}}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\left|\overrightarrow{{\mathrm{GO}}_1}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{{\mathrm{GA}}_1}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{{\mathrm{GB}}_1}\right|$の値を求めよ．

(2)　$▵{\mathrm{O}}_n{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　$▵{\mathrm{O}}_n{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径${10}^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．