2013　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】　一辺の長さが$1$の正十角形$D$が平面上にある．$D$の外接円を$C$とおき，$C$の中心を$\mathrm{O}\text{，}C$の半径を$R$とおく．$D$の頂点$P_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{10}$は$C$上でこの順に反時計回りに並んでいるとする．点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$から直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$へ下ろした垂線をそれぞれ${\mathrm{P}}_2{\mathrm{H}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3{\mathrm{H}}_3$とする．

(1)　$R={\displaystyle \frac{1}{2\sin {\theta }_1}}$を満たす${\theta }_1\text{（}0\mathrm{°}<{\theta }_1<90\mathrm{°}\text{）}$を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_1{\mathrm{H}}_2=\sin {\theta }_2\text{，}{\mathrm{H}}_2{\mathrm{H}}_3=\cos {\theta }_3$を満たす${\theta }_2\text{，}{\theta }_3\text{（}0\mathrm{°}<{\theta }_2<90\mathrm{°}\text{，}0\mathrm{°}<{\theta }_3<90\mathrm{°}\text{）}$を求めよ．

(3)　等式${\mathrm{P}}_1{\mathrm{H}}_2+{\mathrm{H}}_2{\mathrm{H}}_3+{\mathrm{H}}_3\mathrm{O}=R$を用いて，$\sin 18\mathrm{°}$の値を求めよ．

(4)　$D$の面積を$S$とするとき，$S^2$の値を求めよ．

【２】　関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}x(x-1)$を考える．$a$を実数とし，実数$b\text{，}c$を$b=f(a)\text{，}c=f(b)$により定める．

(1)　不等式$a<b$を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　連立不等式

(＊)$\{\begin{array}{l}a<b\\ b>c\end{array}$

を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)の連立不等式(＊)が成り立つとき，$c$と$f(c)$の大小を判定せよ．

【３】　$a$を正の定数とし，$m$を自然数とする．$xy$平面上の$2$曲線$C_1:y=a{x}^2\text{（}x\geqq 0\text{），}{C}_2:y={(\log x)}^m\text{（}x\geqq 1\text{）}$および点$\mathrm{P}$は次の条件を満たしている．

$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線は一致する．

(1)　$a$の値および$\mathrm{P}$の$x$座標を$m$を用いて表せ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{{(\log x)}^m}{x^2}}\text{（}x\geqq 1\text{）}$の最大値を求め，$x\geqq 1$において不等式$a{x}^2\geqq {(\log x)}^m$が成り立つことを示せ．

(3)　自然数$n$に対して，不定積分${\displaystyle \int }{(\log x)}^{n}dx$を$I_n$とおく．$n\geqq 2$のとき，部分積分法により，$I_n$を$I_{n-1}$を用いて表せ．

(4)　$m=2$のとき，$C_1\text{，}{C}_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$xy$平面上の曲線$C:y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$を考える．$0<p<q$のとき，$C$上の$2$点$\mathrm{P}(p,{\displaystyle \frac{1}{p}})\text{，}\mathrm{Q}(q,{\displaystyle \frac{1}{q}})$を通る直線と$C$で囲まれる図形の面積を$S$とし，その図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

(1)　$r={\displaystyle \frac{p}{q}}$とおくとき，$S$および$V$の値を$p\text{，}r$を用いて表せ．

(2)　自然数$n$に対して，$p=3^{n-1}\text{，}q=3^n$のときの$V$の値を$V_n$とおく．無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{V}_n$の和を求めよ．