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2013-10565-0101
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2013 大阪教育大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】(1) t=tan⁡ x2 とおくとき,次の等式が成り立つことを示せ.
(2) a ,b を実数とする. x を未知数とする方程式 a ⁢sin⁡x +b⁢cos ⁡x+1 =0 が, -π< x<π の範囲に相異なる二つの解をもつとする.
(ⅰ) a ,b の満たすべき条件を求めよ.
(ⅱ) 二つの解を α , β とするとき, tan⁡ α +β2 を a , b を用いて表せ.
(3) 次の定積分を求めよ.
∫ 0π2 1 sin⁡x+ cos⁡x+ 1⁢ dx
2013-10565-0102
【2】 直線 y =m⁢x ( m≠0 ) を l とし,行列 ( ab cd ) で表される平面上の 1 次変換 f は次の二つの条件を満たすとする.
l の各点は f で動かない.
f は点 A ( 1,0 ) を, A を通り l に平行な直線上の点に移す.
このとき,次の問いに答えよ.
(1) a ,c , d を b , m を用いて表せ.
(2) a⁢d- b⁢c の値を求めよ.
(3) f により平面上の任意の点 P は, P を通り l に平行な直線上の点に移ることを示せ.
2013-10565-0103
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【3】 平行四辺形 ABCD を底面とする四角 錐すい OABCD を考える.線分 OB の中点を B′ , 線分 OC を 1 :2 に内分する点を C′ とし, A , B ′ ,C ′ を通る平面と直線 OD の交点を D ′ とする.また, a→ =OA→ , b→ =OB→ , c→ =OC→ とする.
(1) OD→ を a→ ,b → ,c → で表せ.
(2) O D′ → は OD → の何倍か.
(3) 三角錐 AO B′ D′ の体積は,三角錐 AOBD の体積の何倍か.
(4) 四角錐 OA B′ C′ D′ の体積は,四角錐 OABCD の体積の何倍か.
2013-10565-0104
【4】 ある種の粒子は出現して 1 時間後に次のように変化する.
確率 13 で 2 個の新しい粒子になる.
確率 12 で 1 個の新しい粒子になる.
確率 1 6 で消滅する.
1 個の粒子から始まるものとして,次の問いに答えよ.
(1) 2 時間後に粒子が 2 個になっている確率を求めよ.
(2) 3 時間後に粒子が 5 個になっている確率を求めよ.
(3) n を自然数とする. n 時間後に最大でいくつの粒子があるか.その個数と,そうなる確率を n を用いて表せ.