2013　和歌山大学　後期システム工学部総合問題MathJax

(1)　$\cos 3\theta$を$t$を用いて表しなさい．

(2)　関数$y$を$t$と$a$を用いて表しなさい．

(3)　関数$y$の最小値を$a$を用いて表しなさい．また最小値をとる$t$の値も求めなさい．

　$N$を偶数として，$0$から$N-1$までの異なる数字が書かれた$N$枚のカードを，カードに書かれた数字の小さい順に左から右へ並べる．この$N$枚のカードの並びを初期状態とする．また，$N$枚のカードの並びにおける各カードの位置を左から順に，$0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N-1$と表す．そこで，$N$枚のカードの並びに対して次のような操作$M$を定義する．

　例えば，$10$枚のカードの初期状態と操作$M$を$1$回施した後のカードの並びは，表１のようになる．

　　ここで，初期状態のカードの位置を$k\text{（}=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}9\text{），}$操作$M$を$1$回施した後の位置を$M(k)$で表すと，表１の入れ替えが起こった後の$k$と$M(k)$の対応関係は表２のようになる．例えば，表２の太枠内の対応関係は，初期状態で位置が$1$のカードは，操作$M$を$1$回施した後，位置が$2$になったことを表す．

　ここで，自然数$a$を自然数$m$で割ったときの余りが$b$であるとき，$a\text{，}b\text{，}m$の間に成立する関係を，記号$◯$を使って$b=a◯m$と書くことにする．この定義にしたがうと，表２において$k=0\text{，}9$を除いた$k$と$M(k)$の関係は，$M(k)=2k◯9$と書ける．

設問

(1)　$10$枚のカードに対して，初期状態から操作$M$を$2$回施した後のカードの並びを解答欄の表に書きなさい．

(2)　$10$枚のカードに対して，操作$M$を$2$回施した後のカードの位置を解答欄の表に書きなさい．なお，初期状態から操作$M$を$2$回施した後のカードの位置を$M^2(k)$とする．

(3)　$10$枚のカードに対して，初期状態から操作$M$を複数回行うと，再び初期状態に戻る．このときの最小の操作回数を答えなさい．ただし，操作は必ず$1$回以上行われるものとする．

(4)　$M(k)$と$M^2(k)$の関係をもとにして，$k=0\text{，}9$を除く$k$に対して，$M^2(k)$を記号$◯$と$k$を使って表しなさい．（ヒント：$a$を$9$で割った余りが$b$と表せる時，$a$の$2$倍を$9$で割った余りは，$b$の$2$倍を$9$で割った余りと等しくなる．）

(5)　設問(4)で求めた結果を用いて，設問(3)の答えが得られる理由を説明しなさい．

(6)　$52$枚のカードに対して，初期状態から操作$M$を複数回行うと，再び初期状態に戻る．このときの最小の操作回数を答えなさい．ただし，操作は必ず$1$回以上行われるものとする．また，そうなる理由を$M(k)\text{，}k\text{，}$記号$◯$を使って説明しなさい．