2013　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　$5$で割ったときの商が余りよりも小さくかつ$0$以上の整数であるような正の整数をすべて求めよ．

【２】　実数の変数$x\text{，}y$の間に$x^2+y^2=18$の関係があるとき，関数${(x+y)}^2-6(x+y)+12$の最大値，最小値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を円周上の相異なる$3$点とし，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$とする．点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとる．$\angle \mathrm{BPA}$を$\theta$と書く．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}$を$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BP}\text{，}\theta$を用いて表わせ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}+\mathrm{PC}}{\mathrm{AP}}}$の値は，点$\mathrm{P}$の取り方によらず一定であることを証明せよ．

(3)　$\mathrm{BP}+\mathrm{PC}$の値が最大となる点$\mathrm{P}$を求めよ．

【４】　$5$本のくじの中に当たりくじが$2$本ある．まず，$\mathrm{A}$さんが当たりくじを引くまで繰り返し引くとする．ただし，引いたくじは元に戻さない．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$さんが引くはずれくじの本数の期待値を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$さんが当たりくじを引いた後，$\mathrm{B}$さんも同様に当たりくじを引くまで繰り返し引くとする．$\mathrm{B}$さんが引くはずれくじの本数の期待値を求めよ．