2013　熊本大学　後期理学部MathJax

【１】　$a$を実数とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}1-2a& -2a\\ 3a& 2a-1\end{array}\right)$を考える．自然数$n$について，$E+A+A^2+\cdots +A^{2n-1}=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とする．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(問１)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n$が存在するための必要十分条件を求めよ．

(問２)　(問１)の条件が満たされるとき，$B=\left(\begin{array}{cc}\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n& \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n& \underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n\end{array}\right)$とする．$AB=BA$であることを示せ．

【２】　$a$を実数とし，平面上の点$\mathrm{A}(a,{\displaystyle \frac{1}{2}}a+{\displaystyle \frac{1}{2}})$を考える．放物線$C\text{：}y=-x^2$の接線で点$\mathrm{A}$を通るもののうち，傾きの大きい方を$l\text{，}$小さい方を$m$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$l\text{，}m$の傾きを$a$で表せ．

(問２)　$l$と$C$の接点と，$m$と$C$の接点を通る直線を$n$とするとき，$n$の傾きを$a$で表せ．

(問３)　$l$と$n$が直交するとき，実数$a$を求めよ．

【３】　$f(x)$および$g(x)$は実数全体で定義された連続関数で

$f(x)=1+{\displaystyle {\int }_0^x}g(t)dt\text{，}g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(問１)　${f(x)}^2-{g(x)}^2$が定数であることを示し，その値を求めよ．

(問２)　すべての実数$x$に対して$f(x)\geqq 1$が成り立つことを示せ．

(問３)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$および$\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)=\infty$を示せ．

(問４)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$を求めよ．