2013　琉球大学　後期理学部MathJax

【１】　関数$y=4x^3-x^4$について，次の問いに答えよ．

問１　$y=4x^3-x^4$のグラフの概形を，極値，変曲点，凹凸を調べてかけ．

問２　$a$を定数とするとき，直線$y=ax$と曲線$y=4x^3-x^4$との共有点の個数を調べよ．ただし，接点は$1$個の共有点とみなす．

【２】　辺の長さがすべて整数である直角三角形の面積は，$3$で割り切れる整数であることを示せ．

【３】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，三角形$\mathrm{BCD}$の$3$辺の長さは$3\text{，}4\text{，}5$である．また，$\mathrm{A}$から対面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{BCD}$の内心に一致している．$\mathrm{AH}$の長さを$h$とする．この四面体を$\mathrm{AH}$を軸として一回転したとき，この四面体の表面が通過した部分の体積を求めよ．

【４】　次のゲームを考える．

・最初の持ち点は$1$である．

・コインを投げて，表が出れば持ち点を倍に，裏が出れば持ち点を半分にする．ただし，持ち点が$1$のときに裏が出たら持ち点は$0$になるものとする．

　コインを$n$回投げたときの持ち点が$1$である確率を$p(n)\text{，}$コインを$n$回投げたときの持ち点の期待値を$E(n)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$p(4)$を求めよ．

問２　$E(n+1)={\displaystyle \frac{5}{4}}E(n)-{\displaystyle \frac{1}{4}}p(n)$であることを示せ．

問３　$E(7)$を求めよ．