2013　前橋工科大学　前期MathJax

【１】　$n$を$2$以上の自然数とする．$3$つの自然数の組$(p,q,r)$で条件$2p<q<r\leqq 2n$を満たすものの総数を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$n=2\text{，}3$のとき，すべての組$(p,q,r)$を求めることにより$a_2\text{，}{a}_3$を求めなさい．

(2)　$p$を$1$つ固定したとき，条件$2p<q<r\leqq 2n$を満たす自然数の組$(q,r)$の総数を$b_p$とする．$b_p$を$n$と$p$を用いて表しなさい．

(3)　$a_n$を$n$を用いて表しなさい．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする空間内に球面$S\text{：}{x}^2+y^2+z^2=29$がある．次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$を通りベクトル$\overrightarrow{d}=(-5,5,8)$に平行な直線が，球面$S$と交わる$2$点の座標を求めなさい．

(2)　(1)で求めた$2$点と原点$\mathrm{O}$を通る平面を$\alpha$とし，球面$S$と平面$z=4$の交わりが作る円を$C$とする．平面$\alpha$と円$C$の交点の座標を求めなさい．

【３】　$a$を実数とし，$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3x}-3e^{2x}+11e^x-6x$とする．方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を求めなさい．ただし，$1.09<\log 3<1.10\text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\infty$であることは断りなしに用いてよい．

【４】　$a$を$0<a<1$を満たす実数とする．$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=x\log x\text{，}{C}_2\text{：}y=a\log x$

で囲まれる図形を$P$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，図形$P$の中で$x\leqq 2a$を満たす部分の面積を最大にする$a$の値を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1$のとき，曲線$C_1\text{，}{C}_2$の$x\geqq 1$の部分と直線$x=2a$で囲まれる図形を$Q$とする．$P$と$Q$の面積が等しくなるとき，$a$の値を求めなさい．