2013　首都大学東京　後期MathJax

【１】　$A\text{，}B$を実数を成分とする$2$次の行列とし，$E$を単位行列$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．$2$つの関係式

$A+B=2E\text{，}{A}^2+B^2=2E$

が成り立っているとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　正の整数$n$に対し，$A^n=nA-(n-1)E$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．

(2)　$B$は$A$の逆行列であることを示しなさい．

(3)　$A=\left(\begin{array}{cc}a& -2\\ 8& d\end{array}\right)\text{（}a>d\text{）}$とする．$a$と$d$の値を求めなさい．このとき，正の整数$n$に対し，$A^n$と$B^n$を求めなさい．

【２】　関数

$f(\theta )={\displaystyle \frac{1}{3}}\sin 3\theta -\sin 2\theta$

を考える．以下の問いに答えなさい．

(1)　導関数$f\prime (\theta )$を求めなさい．

(2)　$t=\cos \theta$とおく．$\cos 3\theta =\cos (2\theta +\theta )$であることと加法定理を用いて，$\cos 3\theta =4t^3-3t$が成り立つことを示しなさい．

(3)　区間$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$における$f(\theta )$の最小値を求めなさい．

【３】　座標平面で，$x$座標，$y$座標がともに正の整数である点$(p,q)$を考える．$p$と$q$が$p\leqq q$かつ$3p\geqq q$を満たすとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$q\leqq 5$を満たす点$(p,q)$の総数を求めなさい．

(2)　$k$を正の整数とする．$3k\leqq q\leqq 3k+2$を満たす点$(p,q)$の総数を$k$で表しなさい．

(3)　$n$を正の整数とする．$q\leqq 3n+2$を満たす点$(p,q)$の総数を$n$で表しなさい．

【４】　座標平面上の直線$l\text{：}y=kx$と曲線$C\text{：}y=x(x-1)(x-2)$について以下の問いに答えなさい．

(1)　$l$と$C$が相異なる$3$個の共有点を持ち，かつ原点以外の$2$個の共有点の$x$座標がともに正となるような定数$k$の範囲を求めなさい．

(2)　$k$は(1)で求めた範囲を動くものとする．$l$と$C$の，原点以外の共有点の$x$座標を小さい順に$\alpha \text{，}\beta$とする．$\alpha \leqq x\leqq \beta$の範囲で，$l$と$C$によって囲まれる図形の面積を$S$とし，$\alpha \beta =t$とおく．$S^2$を$t$で表しなさい．

(3)　$k$は(1)で求めた範囲を動くものとし，$S$は(2)と同じとする．$S=4\sqrt{2}$となるような$k$の値を求めなさい．