2013　横浜市立大　前期国際総合科学部理学系MathJax

2013　横浜市立大　前期

医学部国際総合科学部理学系

易□　並□　難□

【１】　 $a ， b ， c$ は正の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数

$\sqrt{x (a + x)} - a \log (\sqrt{x} + \sqrt{x + a})$

の導関数を求めよ．

(2)　部分積分を用いて

$\int \sqrt{x (b x + c)} d x = \frac{1}{2} x \sqrt{x (b x + c)} + \frac{c}{4} \int \sqrt{\frac{x}{b x + c}} d x （ x > 0 ）$

が成り立つことを示せ．

(3)　不定積分 $\int \sqrt{x (2 x + 1)} d x （ x > 0 ）$ を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　 $n$ 個のボールと， $1$ から $n$ までの番号がふられた $n$ 個の空の箱がある．また， $1$ から $n$ の番号が書かれた $n$ 枚のカードが袋の中に入っている．いま，以下の手順に従いボールを箱の中に入れていくことを考える．

手順１　袋からカードを $1$ 枚無作為に取り出して，手順２に進む．

手順２　手順１で取り出したカードに書かれている番号の箱が，

${\begin{cases} ・空ならば，そこにボールを 1 つ入れて，手順３へ進む． \\ ・空でなければ，カードを袋に戻さず手元に置き，手順１に戻る． \end{cases}$

手順３　手元のすべてのカードを袋に戻す．この時点で，

${\begin{cases} ・すべての箱にボールが入っていれば終了する． \\ ・空の箱が 1 つでもあれば，手順１に戻る． \end{cases}$

　また， $1 ≦ k ≦ n$ を満たす自然数 $k$ について， $k - 1$ 個目のボールを箱に入れ終わった状態（ただし， $k = 1$ のときは，はじめの状態とする）の後に，

・次のボール，すなわち $k$ 個目のボールを箱に入れるまでにちょうど $i$ 枚のカードを袋から取り出す確率を $P_{k} (i)$ とし，

・ $i$ 枚のカードを袋から取り出してもまだ次のボールを箱に入れることができない確率を $Q_{k} (i)$ とする．ただし， $Q_{k} (0) = 1$ とする．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $n = 4$ のとき， $P_{3} (1) ， P_{3} (2) ， Q_{3} (2)$ をそれぞれ求めよ．

(2)　 $Q_{k} (i)$ を $P_{k} (i + 1) ， P_{k} (i + 2) ， \dots ， P_{k} (k)$ を用いて表せ．ただし， $0 ≦ i ≦ k - 1$ とする．

(3)　 $k - 1$ 個目のボールを箱に入れてから $k$ 個目のボールを箱に入れるまでに袋から取り出すカードの枚数の期待値 $E_{k}$ は $Q_{k} (0) + Q_{k} (1) + \dots Q_{k} (k - 1)$ であることを示せ．

(4)　不等式

$E_{k} ≦ \frac{n}{n - k + 1}$

が成り立つことを示せ．

(5)　不等式

$E_{1} + E_{2} + \dots + E_{n} ≦ n + n \log n$

が成り立つことを示せ．