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2013-11491-0201
2013 名古屋市立大 後期
経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 原点を O とする座標平面上に 2 点 A (1 ,1) ,B (- 1,1 ) があり,三角形 OAB の内部または周上に点 P をとる.辺 AB 上において,点 P からの距離が最小となる点を Q とする.次の問いに答えよ.
(1) 点 P が辺 OA 上にあり,線分 OP と OQ の長さが等しいときの OP の長さを求めよ.
(2) OP≦PQ を満たす点 P が存在する範囲を図示せよ.
(3) (2)で求めた点 P の存在範囲の面積を求めよ.
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【2】 n を 3 以上の自然数とする. 1 から n までの自然数から 3 個の互いに異なる数字を選び並べる.その数字と数字の間に足し算( + )および掛け算( × )の記号をそれぞれ 1 つずつ入れて数式を作り,その計算結果を Y とする.例えば, n=5 で数字 2 , 3 ,5 を選び,数式が 2 +5×3 なら Y =17 である.ただし, 2+5 ×3 ,2+ 3×5 , 5×3 +2 などは Y が同じでも異なる式とする.次の問いに答えよ.
(1) n=5 のとき, Y=9 となる数式の個数はいくつか.
(2) Y が奇数となる数式の個数を n =5 のときと n =6 のときについて求めよ.
(3) n=k のときに Y が奇数となる数式の個数と, n=k+ 1 のときに Y が奇数となる数式の個数との差が 500 以上となる最小の k を求めよ.
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【3】 図のように,原点を開始点とし,平面上の格子点をうずまき状にたどっていくことを考える.選ばれた格子点は順に ( 0,0) ,( 1,0) ,( 1,1) ,⋯ となる. n 番目に選ばれた格子点の x y 座標を ( xn, yn ) で表す. (x n,y n) を用いて数列 { an } を an= xn⋅ yn と定義する.数列 { an } について次の問いに答えよ.
(1) a758 を求めよ.
(2) 数列 { an } の初項から第 758 項までの和を求めよ.
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【4】 一辺の長さが 1 の正四面体 OABC について辺 OA の中点を L ,OB を 2 :1 の比に内分する点を M ,OC を 1 :2 の比に内分する点を N とする. 3 点 L ,M , N で決まる平面と直線 AB , BC ,CA との交点を順に P ,Q , R とする. OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とするとき,次の問いに答えよ.
(1) OP→ , OQ→ , OR→ を a→ ,b → ,c → を用いて表せ.
(2) 3 点 P ,Q , R は同一直線上にあることを示せ.
(3) 三角形 NLM と三角形 NRQ の面積比を求めよ.