2013　名古屋市立大　中期

【１】　次の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}7=0.8451$とする．

(1)　${2013}^{25}$の一の位の数字を求めよ．

(2)　${13}^{2013}$を$5$で割ったときの余りを求めよ．

(3)　$3^{2013}$は何桁の数か．

(4)　$3^{2013}$の最高位の数を求めよ．

【２】　逆行列をもつ行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$によって表される$1$次変換を考える．

　以下の問いに答えよ．

(1)　この変換によって$xy$平面上の任意の$2$点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$および$\mathrm{Q}(x_2,y_2)$がそれぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }({x_1}^{\prime },{y_1}^{\prime })$および${\mathrm{Q}}^{\prime }({x_2}^{\prime },{y_2}^{\prime })$に移されるとき，$2$点間の距離が変換によって変化しない，つまり，${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }}\right|}^2$であるための必要十分条件は，

$A^{\mathrm{T}}A=E\cdots$(＊)

であることを示せ．ただし，$A^{\mathrm{T}}$は$A$の行と列を入れ替えた行列要素をもつ行列，すなわち，

$A^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$

である．また，$E$は単位行列である．

(2)　原点のまわりの回転移動および$x$軸に関する対称移動の$1$次変換を，それぞれ，$f$および$g$とする．これらの$1$次変換を表す行列は，それぞれ，上の条件(＊)を満たすことを確かめよ．

(3)　(2)で考えた$1$次変換$f$および$g$を表す行列をそれぞれ$F$および$G$とし，$A=FG{F}^{-1}$で定義される行列$A$によって表される$1$次変換を考える．この変換によって直線$y=mx$上の任意の点がそれ自身に移されるとき，$A$を実数$m$を用いて表せ．ただし，$F^{-1}$は$F$の逆行列を表す．

(4)　(1)で考えた点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{Q}}^{\prime }$の座標を用いて，$S=x_1{y}_2-y_1{x}_2$および$S^{\prime }={x_1}^{\prime }{y_2}^{\prime }-{y_1}^{\prime }{x_2}^{\prime }$を定義する．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$から${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{Q}}^{\prime }$への変換を表す行列が(3)で求めた$A$で与えられるとき，$S$と$S^{\prime }$の関係式を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^x\sin xdx$および${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^x\cos xdx$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x{e}^x\sin xdx$および${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x{e}^x\cos xdx$を求めよ．

(3)　次の関係を満足する関数$f(x)\text{，}g(x)$を求めよ．

$\{\begin{array}{l}f(x)=e^x\sin x+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}ug(u)du\\ g(x)=e^x\cos x+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}uf(u)du\end{array}$