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2013-11521-0101
2013 滋賀県立大学 前期
工,環境科学部
易□ 並□ 難□
【1】 定数 a1< a2< a3< ⋯ に対して,連続関数 fn⁡ (x ) ( n=1 ,2 , ⋯ ) が f1⁡ (x) =|x -a1 |, fn+ 1⁡( x)= fn⁡ (x) +|x- an+ 1| によって定義されている.
(1) a1 =1 ,a 2=2 のとき, f2 ⁡( x) の最小値を求めよ.
(2) a1 =1 ,a 2=2 , a3 =3 のとき, f3 ⁡(x ) の最小値を求めよ.
(3) n が 2 以上の自然数であるとき, fn ⁡( x) の最小値を求めよ.
2013-11521-0102
【2】 a ,b , c ,p , q を実数とし,整式 f ⁡(x )= x4+a ⁢x3 +b⁢x 2+c⁢ x-1 を整式 g ⁡(x )=x 3+p ⁢x2 +q⁢x +2 で割った余りは x2+1 であるとする.
(1) f⁡( x)= 0 と g ⁡(x )=0 は実数の範囲に共通の解を持たないことを示せ.
(2) f⁡( x)= 0 と g ⁡(x )=0 が共通の解をもつとき, f⁡( x) と g ⁡(x ) を求めよ.
2013-11521-0103
【3】 四面体の 4 つの頂点を A1 , A 2 , A3 , A 4 とし,空間のある点 P に関するそれぞれの位置ベクトルを a1→ , a2 → ,a 3→ , a4 → とする.いま ▵ A2 A3 A4 , ▵ A1 A3 A4 , ▵ A1 A2 A4 , ▵ A1 A2 A3 を順に T1 ,T 2 ,T 3 ,T4 で表しその重心をそれぞれ G1 , G 2 ,G 3 ,G.4 とする.
(1) 点 H を PH→= a1→ +a2 →+ a3 →+ a4→ 4 を満たす点とすると, 4 つの直線 Ai Gi ( i=1 ,2 , 3 ,4 ) は H で交わることを示せ.
(2) 「直線 Ai H は T i を含む平面に直交する( i =1 ,2 , 3 ,4 )」という条件が成り立つと仮定する.このとき P として H を選べば, aj → と ak→ の内積 aj→ ⋅a k→ ( j ,k= 1 ,2 , 3 ,4 ) の値は j ≠k を満たすどの j , k に対しても同じであることを示せ.
(3) (2)の条件が成り立てば,四面体 A1 A2 A3 A4 は正四面体であることを示せ.
2013-11521-0104
【4】 a を正の定数とする.曲線 y =|e -a⁢ x⁢ sin⁡a⁢ x| ( x≧0 ) において,極大となる点を x 座標の小さい方から順に P1 , P 2 ,⋯ とする. Pn ( n= 1 ,2 , ⋯ ) を通り, y 軸に平行な直線が x 軸と交わる点を Qn とする. P n ,Q n および原点を頂点とする三角形の面積を S n とする.
(1) Pn の座標を a , n を用いて表せ.
(2) Sn を a , n を用いて表せ.
(3) limn →∞ SnS n+1 の値を求めよ.