2013　滋賀県立大学　前期MathJax

【１】　定数$a_1<a_2<a_3<\cdots$に対して，連続関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が$f_1(x)=|x-a_1|\text{，}{f}_{n+1}(x)=f_n(x)+|x-a_{n+1}|$によって定義されている．

(1)　$a_1=1\text{，}{a}_2=2$のとき，$f_2(x)$の最小値を求めよ．

(2)　$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_3=3$のとき，$f_3(x)$の最小値を求めよ．

(3)　$n$が$2$以上の自然数であるとき，$f_n(x)$の最小値を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}p\text{，}q$を実数とし，整式$f(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx-1$を整式$g(x)=x^3+p{x}^2+qx+2$で割った余りは$x^2+1$であるとする．

(1)　$f(x)=0$と$g(x)=0$は実数の範囲に共通の解を持たないことを示せ．

(2)　$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解をもつとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

【３】　四面体の$4$つの頂点を${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4$とし，空間のある点$\mathrm{P}$に関するそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a_1}\text{，}\overrightarrow{a_2}\text{，}\overrightarrow{a_3}\text{，}\overrightarrow{a_4}$とする．いま$▵{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4\text{，}▵{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4\text{，}▵{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_4\text{，}▵{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$を順に$T_1\text{，}{T}_2\text{，}{T}_3\text{，}{T}_4$で表しその重心をそれぞれ${\mathrm{G}}_1\text{，}{\mathrm{G}}_2\text{，}{G}_3\text{，}{G}_{.4}$とする．

(1)　点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{PH}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}}{4}}$を満たす点とすると，$4$つの直線${\mathrm{A}}_i{\mathrm{G}}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$は$\mathrm{H}$で交わることを示せ．

(2)　「直線${\mathrm{A}}_i\mathrm{H}$は$T_i$を含む平面に直交する（$i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$）」という条件が成り立つと仮定する．このとき$\mathrm{P}$として$\mathrm{H}$を選べば，$\overrightarrow{a_j}$と$\overrightarrow{a_k}$の内積$\overrightarrow{a_j}\cdot \overrightarrow{a_k}\text{（}j\text{，}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$の値は$j\ne k$を満たすどの$j\text{，}k$に対しても同じであることを示せ．

(3)　(2)の条件が成り立てば，四面体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4$は正四面体であることを示せ．

【４】　$a$を正の定数とする．曲線$y=|e^{-ax}\sin ax|\text{（}x\geqq 0\text{）}$において，極大となる点を$x$座標の小さい方から順に${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots$とする．${\mathrm{P}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を通り，$y$軸に平行な直線が$x$軸と交わる点を${\mathrm{Q}}_n$とする．${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n$および原点を頂点とする三角形の面積を$S_n$とする．

(1)　${\mathrm{P}}_n$の座標を$a\text{，}n$を用いて表せ．

(2)　$S_n$を$a\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{S_{n+1}}}$の値を求めよ．