2013　兵庫県立大学　前期MathJax

(1)　$2$つの変数$x\text{，}y$をもつ関数$f(x,y)$を$f(x,y)={\displaystyle \frac{x+y}{2}}+{\displaystyle \frac{|x-y|}{2}}$と定める．$x\text{，}y$が実数の値であるとき，$f(x,y)=x$は$x\geqq y$であるための必要十分条件であることを示しなさい．

(2)　方程式$x^2+y^2-1+|x^2+y^2-1|=0$を満たす点$(x,y)$全体の集合を図示しなさい．

(1)　放物線$y=x^2+9$の点$(t,t^2+9)$における接線と放物線$y=x^2$の交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$としたとき，$\alpha +\beta$と$\alpha \beta$をそれぞれ$t$で表しなさい．

(2)　放物線$y=x^2+9$の点$(t,t^2+9)$における接線と放物線$y=x^2$とで囲まれた図形の面積は，$t$の値によらず一定であることを示しなさい．

(1)　出た目の数の総和が$5$となるサイコロの目の出方を全て列挙しなさい．

(2)　$P_2\text{，}{P}_3\text{，}{P}_4$をそれぞれ求なさい．

(3)　出た目の数の総和が$5$以上である確率を求めなさい．

(4)　$P_n$が最大となる$n$の値を求めなさい．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を，赤道上にあり，それぞれ，東経$0\mathrm{°}\text{，}$東経$90\mathrm{°}$の点とする．また，北極点を$\mathrm{R}$とする．そこで，原点が地球の中心$\mathrm{O}$であり，さらに，点$\mathrm{P}$が$(1,0,0)\text{，}$点$\mathrm{Q}$が$(0,1,0)\text{，}$そして，点$\mathrm{R}$が$(0,0,1)$と表される空間座標を考える．このとき，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めなさい．

(2)　地球表面$S$上の東経が$135\mathrm{°}$の点で，平面$\alpha$上にあるものの緯度$\theta \text{（}-90\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}\text{）}$に対して，$\tan \theta$を求めなさい．ただし，北極点の緯度は$90\mathrm{°}\text{，}$南極点の緯度は$-90\mathrm{°}$とする．

(1)　$m(0)\text{，}m(3)$を求めなさい．

(2)　$y=m(t)$のグラフを描きなさい．

(1)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．直線$\mathrm{AG}$上に点$\mathrm{P}$があるとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面上にあって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$である．このとき$x\text{，}y\text{，}z$の値を求めよ．

(1)　$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ．

(2)　実数$x$に対して$f(x)=s$を満たす$x$の個数を$g(s)$と表す．$g(s)$を求めよ．

(3)　(2)で求めた関数$g(s)$について，$t=g(s)$のグラフをかけ．

(1)　$a_1=2$

$a_{n+1}=2(a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots +a_1+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　$b_1=1$

$b_{n+1}=b_n+3b_{n-1}+5b_{n-2}+\cdots +(2n-1)b_1+2n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，不等式$2<e<3$が成り立つことは使ってよい．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，凹凸，変曲点は調べなくてよい．

(2)　$a\ne 0$かつ$f(a)=0$となる$a$はただ$1$つあって，$1<a<2$を満たすことを示せ．

(3)　区間$[0,a]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，区間$[a,4]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=4$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1<S_2$を示せ．