2013　奈良県立医科大学　前期医学科MathJax

【１】　$2$辺の長さが$2\mathrm{m}$と$10\mathrm{m}$の長方形の壁に，$2$辺の長さが$1\mathrm{m}$と$2\mathrm{m}$の長方形のタイルを過不足なく敷き詰める．そのような並べ方は何通りあるか答えよ．

【２】　$a>0$とする．関数$f(x)=x^3+a{x}^2-1$の極値の差が$4$となるとき，$a$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ行く最短経路の総数を求めよ．

【４】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$の第$1$象限の点$\mathrm{P}$に接線を引き，$x$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{P}$を第$1$象限で楕円上を動かしたときの線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めよ．

【５】　次の不等式を解け．

${\log }_2(4-x)+{\log }_4(x+2)\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$

【６】　$▵\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，$\mathrm{AI}$の延長が外接円と交わる点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}$の長さが$3\text{，}\mathrm{AC}$の長さが$4\text{，}\angle \mathrm{BAC}$の大きさは$60\mathrm{°}$である．このとき，$\mathrm{DI}$の長さを求めよ．

【７】　次の等式が$x$の恒等式になるような$a\text{，}b$を求めよ．

$\cos x+\cos (a+x)+\cos (b+x)=0$

ただし，$0\leqq a\leqq 2\pi$とする．

【８】　$a$は実数とする．$xy$平面上の円$x^2-2ax+y^2-4y+a^2-1=0$があり，直線$3x+ay=0$と交わり，その交点の間の距離が$2$である．このときの$a$の値を求めよ．

【９】　大，小の$2$つのサイコロを同時になげ，大のサイコロの出た目を$a\text{，}$小のサイコロの出た目を$b$とする．このとき，$a+b<ab$となる確率を求めよ．

【10】　曲線$y={\log }_e(x+1)-1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【11】　$\overrightarrow{a}$は長さ$1$のベクトル，$\overrightarrow{b}$は長さ$3$のベクトルで，これらのベクトルのなす角度を$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$としたとき，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$である．いま，ベクトル$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}$のなす角度が$2\theta$であるとき，$k$の値を求めよ．

【12】　$3$次方程式$x^3-6a{x}^2+9a^{2}x-4a=0$が相異なる$3$つの実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．

【13】　不等式$\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{20}}}<\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}<\sqrt{{\displaystyle \frac{a+1}{20}}}$を満たす整数$a$を求めよ．

【14】　曲線$y=|x^2-4x+3|$と直線$y=ax$が相異なる$3$点で交わるとき，$a$の値を求めよ．

【15】　条件$a_1=-4\text{，}{a}_2=0\text{，}{a}_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定められる数列$(a_n\}$の一般項を求めよ．