2013　奈良県立医科大学　後期医学科

【１】　実数全体で定義された微分可能な関数$f(x)$で，関係式

$f^{\prime }(x)=\cos x+{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}tf(t)dt$

を満たし，かつ$f(0)=0$となるものを求めよ．

（ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数を表す．）

【２】　$a\text{，}b$を整数とし，$2$行$2$列の行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ -b& 0\end{array}\right)$

とおく．$xy$平面上のベクトルの列${\{\overrightarrow{v_n}=(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\left)\right\}}_{n=1\text{，}2\text{，}\cdots }$を次の漸化式により定義する．

$\overrightarrow{v_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{v_{n+1}}=A\overrightarrow{v_n}+\overrightarrow{v_1}\text{（}n\geqq 1\text{）}$．

さらに$1$より大きいある整数$k$に対して$\overrightarrow{v_k}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$が成り立つと仮定する．

(1)　$b=1\text{，}$または$-1$であることを証明せよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|x_n\right|=+\infty$となることは起こり得ないことを証明せよ．

(3)　もし$b=-1$ならば$a=0$であることを証明せよ．

(4)　$\left|a\right|<2$を証明せよ．

【３】　$p$を$0$でない実数とする．$xy$平面において，曲線$y=x^3+px+p$の接線で点$(1,1)$を通るものが，ちょうど$2$本存在すると仮定する．このとき，実数$p$の値，および$2$本の接線の方程式を求めよ．

【４】(1)　$1$より大きい正整数$p$が素数ならば，$p-1$以下の任意の正整数$i$に対して，二項係数${}_{p}C_i$は$p$の倍数であることを証明せよ．

(2)　$1$より大きい正整数$p$が素数ならば，任意の正整数$n$に対して整数${}_{np}C_p-n$は$p$の倍数であることを証明せよ．

(3)　$1$より大きい相違なる正整数$p\text{，}q$をともに素数とし，$k$を正整数とする．このとき，整数${}_{kpq}C_q-p$が$q$の倍数であり，かつ整数${}_{kpq}C_p-q$が$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$k-1$が$pq$の倍数であることを証明せよ．

(4)　$1$より大きい正整数$p$が素数ならば，$p$以上の任意の正整数$m$に対して，整数${}_{m}C_p-[m{p}^{-1}]$は$p$の倍数であることを証明せよ．（ただし，実数$x$に対して$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．）