2013　公立鳥取環境大学　前期MathJax

(1)　座標平面上で，不等式$x^2+6x+y^2+2y+6\leqq 0$と$y\geqq -2x-3$の両方を満たす点$(x,y)$の存在する領域を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が(1)の領域を動くとき，$x$と$y$は不等式$x^2+y^2\leqq 4$を満たすことを証明せよ．

(1)　曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(0,3)$を通るものすべての方程式を求めよ．また，その求め方を説明せよ．

(2)　点$(1,3)$を通る傾き$a$の直線と曲線$y=f(x)$が$3$点で交わるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．また，その求め方を説明せよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{EF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ．

(3)　辺$\mathrm{BC}$（ただし，$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む）上の点$\mathrm{G}$を考える．このとき，点$\mathrm{G}$を辺$\mathrm{BC}$上のどこにとっても内積$\overrightarrow{\mathrm{EF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EG}}$の値が変わらないことを示せ．また，その値を求めよ．

　カードが$5$枚伏せてある．$1$回の試行ではカードをよくかき混ぜて$1$枚をでたらめに選んでめくり，出たカードの番号に対応する賞品がもらえる．$5$種類の賞品をすべてあつめるのが目的である．ただし，めくったカードはその都度戻すものとする．

　ここで，すでに$k$種類の賞品を持っている状況で試行を$1$回行ってまだ持っていない賞品がもらえる確率を$P_k$で表すとする（$0\leqq k\leqq 4$）．$P_0=1$である．

(1)　$P_1$の値を求めよ．

(2)　$P_k$を$k$を用いた式で表せ．

(3)　$5$回の試行で賞品が全種類そろう確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．

(4)　試行を$5$回行った時点で得られている賞品が$4$種類だけである確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．

(5)　ある事象が起きる確率が$x$であるとき，その事象が起きるまで繰り返し試行を行うならば，必要な試行回数の期待値は${\displaystyle \frac{1}{x}}$だと知られている．ここで，賞品を$k$種類（$0\leqq k\leqq 4$）持っている状況から始めてまだ持っていない賞品のいずれか$1$つが得られるまでの試行回数の期待値を$Q_k$で表すとする（$0\leqq k\leqq 4$）．$Q_k$を$P_k$を用いた式で表せ．さらに$k$を用いた（$P_k$を使わない）形で式を表せ．

(6)　賞品を$n$種類持っている状況から始めて賞品が$m$種類そろうまでの試行回数の期待値は${\displaystyle \sum _{k=n}^{m-1}}{Q}_k$となる．ただし，$0\leqq n<m\leqq 4$である．

　賞品を$1$つも持っていない状況から$4$種類そろうまでと，$4$種類そろった状況から最後の$1$種類が出るまでと，試行回数の期待値はどちらが大きいか．計算して求めよ．