2013　県立広島大学　前期MathJax

【１】　実数$a$に対して$n\leqq a<n+1$を満たす整数$n$を記号$[a]$で表す．次の問いに答えよ．

(1)　$[-3.1]$を求めよ．

(2)　$[\sqrt{800}]=10x$となる$x$を求めよ．

(3)　$[19x-1]=10x$となる$x$を求めよ．

(4)　$[x^2+6x-4]=10x$となるすべての$x$を求めよ．

【２】　自然数を$1$から順に並べ，第$n$群が$3^{n-1}$個の自然数を含むように分割する．例えば，第$1$群は$\{1\}$であり，第$2$群は$\{2,3,4\}$である．次の問いに答えよ．

$\{1\},\{2,3,4\},\{5,6,7,8,9,10,11,12,13\},\cdots$

(1)　第$n$群の最初の数を求めよ．

(2)　第$n$群に含まれるすべての自然数の和を求めよ．

(3)　$6^{20}$は第何番目の群に含まれるか．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【３】　実数$a\text{，}b\text{，}\alpha$を定数とし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき

$\overrightarrow{d_n}=(\cos n\alpha ,\sin n\alpha )\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を座標平面上のベクトルとする．ベクトル$\overrightarrow{p_n}$を

$\overrightarrow{p_1}=\overrightarrow{d_1}\text{，}\overrightarrow{p_{n+1}}=a\overrightarrow{p_n}+b\overrightarrow{d_{n-1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．$\overrightarrow{p_2}=\overrightarrow{d_2}$のとき次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対し

$\overrightarrow{p_n}=\overrightarrow{d_n}$

となることを示せ．

【４】　$a$を正の実数とする．点$\mathrm{A}(0,1)$を定点とし，点$\mathrm{P}(a,a^2)$を放物線$C\text{：}y=x^2$上の点とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AP}$と放物線$C$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}$での$C$の接線$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{PR}\text{，}$線分$\mathrm{RS}\text{，}$線分$\mathrm{SQ}$および放物線$C$の一部である曲線$\mathrm{PQ}$によって囲まれる部分の面積$T(a)$を$a$を用いて表せ．

(4)　$T(a)$の最小値を求めよ．