2013　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$A=2x^2-3xy+5y^2\text{，}B=x^2+3xy-3y^2\text{，}C=3{\mathrm{.x}}^2-xy+y^2$とするとき，$A+B-2(B-C)$を簡単にせよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=a_n+2n$で与えられる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　$0\leqq x<2\pi$の範囲で方程式$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　$2$曲線$y=x^2+3x+6\text{，}y=3x^2+x+2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\log }_2(5-4x-x^2)$について，次の各問に答えよ．

(1)　$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=f(0)$を解け．

(3)　不等式$f(x)<f(0)$を解け．

(4)　関数$f(x)$の最大値を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$の内部に$2\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$を満たす点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　面積比$▵\mathrm{PAB}:▵\mathrm{PBC}:▵\mathrm{PCA}$を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{PAB}\text{，}▵\mathrm{PBC}\text{，}▵\mathrm{PCA}$の重心をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$とするとき，面積比$▵\mathrm{ABC}:▵\mathrm{EFG}$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=3x-x^3$について，次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$a$を定数とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式を求めよ．

(3)　$a\ne 0$とする．(2)で求めた接線と曲線$y=f(x)$との共有点のうち，$(a,f(a))$以外の点の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　方程式$x^2-mx+m+2=0$の解の$1$つが他の解の$2$倍であり，$2$つの解の差の絶対値が$1$より小さいとき，定数$m$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$x>0\text{，}y>0$とする．$xy=3$のとき，$x+12y$の最小値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【１】>　次の各問に答えよ．

(3)　座標空間の$3$点$\mathrm{A}(3,-1,4)\text{，}\mathrm{B}(-2,3,5)\text{，}\mathrm{C}(1,2,3)$に対し，$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　座標平面上に点$\mathrm{P}(-1,2)$と$\mathrm{P}$を通らない直線$l\text{：}y=mx$がある．直線$l$に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$m$で表せ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　$a>b>0$のとき，

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\text{，}\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　不等式$-x^2<{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}-x<x^2$を解け．

(3)　不等式$|{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}|<{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$を満たす自然数$n$の最大値を求めよ．

【３】　自然対数の底$e$を

$e=\underset{h\to 0}{\lim }{(1+h)}^{\frac{1}{h}}$

により定義する．次の各問に答えよ．

(1)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{{\log }_e(1+h)}{h}}=1$を示せ．

(2)　関数$f(x)={\log }_{e}x$の導関数を定義に従って求めよ．

(3)　関数$y=e^x$の導関数を逆関数の導関数の公式と(2)の結果を用いて求めよ．

【４】　$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$\mathrm{N}(0,1)$と点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$をとる．$2$点$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}\text{，}2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線と直線$x=1$との交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OQ}$の長さを$f(\theta )\text{，}$線分$\mathrm{OR}$の長さを$g(\theta )$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f(\theta )\text{，}g(\theta )$を$\theta$で表せ．

(2)　$h(\theta )={\log }_{e}f(\theta )$とする．導関数$h^{\prime }(\theta )$を求めよ．

(3)　次の定積分の値を求めよ．

$\text{①}$　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}g(\theta )d\theta$

$\text{②}$　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}h(\theta )g(\theta )d\theta$

$\text{③}$　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}f(\theta )g(\theta )d\theta$