2013　高知工科大学　AOマネジメント学部MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　実数$x\text{，}y$が$x+2y\leqq 6\text{，}2x+y\leqq 8\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$を満たして動くとき，$x+y$の最大値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$3$桁の自然数$n$の各桁の数の和は$5$である．このとき，$n$が$5$の倍数である確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　二つの不等式

$p^2\leqq q\leqq -p^2+4p$

$p^2-1\leqq q\leqq 4p-3$

を考える．$p=1$のとき，これらを同時に満たす$q$が存在するかどうか答えよ．さらに，これらを同時に満たす$q$が存在するための$p$の条件を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 2\end{array}\right)$について，$A^2+2A=5(A+2E)$が成り立つことを証明せよ．また，$A^{n+1}+2A^n$を$A\text{，}E$を用いて表せ．ただし$E$は単位行列である．また，$n$は自然数である．

【２】　$n$を$2$以上の整数とする．次の各問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta <\pi$を満たす$\theta$に対して，座標平面上に$3$点

${\mathrm{A}}_0(1,0)\text{，}{\mathrm{A}}_1(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}{\mathrm{A}}_2(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$

をとる．三角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$の面積$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{n}}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$を満たす$\theta$に対して，座標平面上に$n+1$個の点

${\mathrm{A}}_0(1,0)\text{，}{\mathrm{A}}_1(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}{\mathrm{A}}_2(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n(\cos n\theta ,\sin n\theta )$

をとる．$(n+1)$角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_n$の面積$S$を$n$と$\theta$で表せ．

(3)　$f(\theta )=\cos \theta -\cos n\theta$とおく．方程式$f(\theta )=0$は，${\displaystyle \frac{\pi }{n}}<\theta <{\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$において，ただ$1$つの実数解$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{n+1}}$をもつことを証明せよ．

(4)　(2)で求めた面積$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

(5)　(4)で求めた最大値を$S_n$とおく．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　開区間$I$で定義された関数$f(x)$について，極限値

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}}$

が存在するとき，関数$f(x)$は$x=a$で擬微分可能であるといい，その値を擬微分係数とよんで$f^{*}(a)$で表す．次の各問に答えよ．

(1)　関数$f_1(x)=x^2$は$x=a$で擬微分可能であることを証明せよ．

(2)　関数$f_2(x)$を

$f_2(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{（}x\leqq 0\text{のとき）}\\ x^p& \text{（}x>0\text{のとき）}\end{array}$

で定義する．ただし$p$は正の定数とする．$f_2(x)$が$x=0$で擬微分可能であるための$p$の条件を求めよ．

(3)　関数$f_3(x)$を

$f_3(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{（}x\ne 0\text{のとき）}\\ 1& \text{（}x=0\text{のとき）}\end{array}$

で定義する．$f_3(x)$が$x=0$で擬微分可能であることを証明せよ．

(4)　関数$f(x)$が$x=a$で微分可能であれば，$x=a$で擬微分可能であること，および微分係数と擬微分係数とが一致することを証明せよ．

【４】　以下の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{0}$でない$2$つの$2$次元ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$に対して，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \theta$で定義する．ただし$\theta$は二つのベクトルのなす角で，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．また，どちらかが$\overrightarrow{0}$のときは$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$と定める．このとき，

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}^2)$

が成り立つことを示せ．

(2)　$2$次元ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$であるとき，(1)で定義された内積は

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$

を満たすことを示せ．

(3)　$2$以上の整数$n$に対し，$n$次元ベクトル$\overrightarrow{a}$を$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$と定義する．ただし$a_i$$\text{（}1\leqq i\leqq n\text{）}$は実数とする．また，設問(1)とは異なり，これとベクトル$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$との内積を

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$

で定義する．ただし$b_i$$\text{（}1\leqq i\leqq n\text{）}$も実数とする．さらに，ベクトル$\overrightarrow{a}$の大きさ$\left|\overrightarrow{a}\right|$を

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}}$

により定義する．このとき，$2$以上のすべての整数$n$について，

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \theta$

を満たす$\theta$が存在することが以下のように証明できる．この証明を読み，後の設問(3−1)〜(3−4)に答えよ．

【証明】　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$の少なくとも一方が$\overrightarrow{0}$のとき，$\theta$が存在することは明らかである．$\cdots$ (ⅰ)　それ以外の場合，不等式

${({\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i{b}_i)}^2\leqq \left({\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a_i}^2\right)\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n}{b_i}^2\right)$

を証明すればよい．$\cdots$(ⅱ)

　以下，$n$に関する数学的帰納法で証明する．$n=2$のときは，この不等式は成り立つ．$\cdots$ (ⅲ)

　次に，$n=k$のときに成り立つと仮定した場合，

$\begin{array}{ll}{({\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}}{a}_i{b}_i)}^2& ={({\displaystyle \sum _{i=1}^k}{a}_i{b}_i+a_{k+1}{b}_{k+1})}^2\\ & \leqq {({\left({\displaystyle \sum _{i=1}^k}{a_i}^2\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^k}{b_i}^2\right)}^{\frac{1}{2}}+a_{k+1}{b}_{k+1})}^2\cdots \text{(＊)}\end{array}$

が成り立つ．ここで，$n=2$のときの結果から

$\text{(＊)}\leqq ({\displaystyle \sum _{i=1}^k}{a_i}^2+{a_{k+1}}^2)({\displaystyle \sum _{i=1}^k}{b_i}^2+{b_{k+1}}^2)$

が成り立つ．$\cdots$(ⅳ)

　この不等式の右辺は$\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}}{a_i}^2\right)\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}}{b_i}^2\right)$に他ならないから，(ⅱ)の不等式は$n=k+1$のときも成り立つ．よって，数学的帰納法により，$2$以上のすべての$n$に対して，(ⅱ)の不等式が成り立つ．

設問

(3−1)　(ⅰ)の理由を説明せよ．

(3−2)　(ⅱ)の理由を説明せよ．

(3−3)　(ⅲ)の理由を説明せよ．

(3−4)　(ⅳ)においては，$n=2$の場合の結果をどのように用いたのか，具体的に説明せよ．