2013　九州歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　頂点間の距離が$24$であり，焦点が$(20,0)$と$(-20,0)$である双曲線の方程式を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　初項を$a_1=4$とする数列$\{a_n\}$と初項を$b_1=1$とする数列$\{b_n\}$に対して，$c_n=\sqrt{a_n{b}_n}\text{，}{d}_n=\sqrt{{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}}$とおく．ただし，$a_n>0\text{，}{b}_n>0$とする．数列$\{c_n\}$が公差$2$の等差数列となり，数列$\{d_n\}$が公比$3$の等比数列となるとき，$a_5$と$b_5$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$f(x)=A{x}^5+B{x}^4+C{x}^3+D{x}^2+Ex+F$が$f(-x)=-f(x)\text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x^3}}=6\text{，}{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたすとき，定数$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D\text{，}E\text{，}\mathrm{F}$の値を求めよ．

【２】　曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}(\theta ,\sin \theta )$における曲線の接線$l_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{K}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸へ下した垂線$l_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　接線$l_1$を$y=Ax+B$とおくとき，$A$と$B$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{PKH}$の面積$S$を$\cos \theta$を用いて表せ．

(3)　$S=1$となる$\cos \theta$の値を求めよ．

(4)　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．また，曲線$y=\sin x$と二つの線分$\mathrm{OH}\text{，}\mathrm{PH}$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$S:T=3:2$となる$\theta$の値を求めよ．

【３】　$y=x^2-4x+5+{\displaystyle \frac{1}{x^2-4x+5}}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，${\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq x\leqq 3$とする．

(1)　$y$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．

(2)　$t=x^2-4x+5$とおくとき，$z=t^3-6t^2+12t-12+{\displaystyle \frac{12}{t}}-{\displaystyle \frac{6}{t^2}}+{\displaystyle \frac{1}{t^3}}$を$y$を用いて表せ．

(3)　$z$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．

(4)　$K({\log }_{64}M+{\log }_{64}m-{\log }_{64}N-{\log }_{64}n)=1$をみたす自然数$K$の値を求めよ．