2013　学習院大学　文学部MathJax

2013-13331-0101

2013　学習院大学　文学部

25点

2月7日実施

易□　並□　難□

【１】　円に内接する四角形 $ABCD$ が条件

$AB = 3 ， BC = 4 ， CD = 5 ， ∠ ADC = 60 °$

を満たしている．

(1)　対角線 $AC$ の長さを求めよ．

(2)　辺 $AD$ の長さを求めよ．

(3)　四角形 $ABCD$ が内接している円の半径を求めよ．

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25点

2月7日実施

易□　並□　難□

【２】　 $1 ≦ p < q ≦ 6$ を満たす整数 $p$ と $q$ がある． $2$ つのサイコロを同時に振り，出た目のうちで $p$ または $q$ に等しい目の合計を得点とする．例えば， $p$ の目が $2$ つ出たときは，得点は $2 p$ である． $p$ の目も $q$ の目も出なければ，得点は $0$ である．

(1)　得点が $0$ となる確率を求めよ．

(2)　得点の期待値を求めよ．

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25点

2月7日実施

易□　並□　難□

【３】　条件

$f_{1} (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$

$f_{n} (x) = x {f_{n - 1}}^{'} (x) + f_{n - 1} (x) （ n = 2 ， 3 ， 4 ， \dots ）$

によって定まる整式 $f_{n} (x)$ を求めよ．ただし， ${f_{n - 1}}^{'} (x)$ は $f_{n - 1} (x)$ の導関数である．

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易□　並□　難□

【４】　平面上に放物線 $C_{1} : y = x^{2}$ と円 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ がある．

(1)　 $C_{1}$ 上の点 $P$ であって， $P$ における $C_{1}$ の法線が点 $(1, 2)$ を通るようなものをすべて求めよ．ただし， $P$ における $C_{1}$ の法線とは， $P$ を通り $P$ における $C_{1}$ の接線に直交する直線のことである．

(2)　 $C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点をすべて求めよ．