2013　学習院大学　理学部MathJax

【１】　大中小$3$つのサイコロを同時に投げ，出た目をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．さらに，$a\text{，}b\text{，}c$のうちで，最小の数を$S$とし，最大の数を$T$とする．

(1)　$S=2$となる確率を求めよ．

(2)　$S\leqq 2$かつ$T=6$となる確率を求めよ．

(3)　$S$の期待値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$が

$a_2={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_1$

$a_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_{n+1}+a_{n-2})\text{（}n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}$

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2$

を満たすとき，一般項$a_n$を求めよ．

【３】　放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{P}$における$C$の法線を$L(\mathrm{P})$とする．（$L(\mathrm{P})$は，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$での$C$の接線に直交する直線である．）

　点$\mathrm{Q}(a,1)$に対し，$L(\mathrm{P})$が$\mathrm{Q}$を通るような$C$上の点$\mathrm{P}$がちょうど$3$個あるための$a$の範囲を求めよ．

【４】(1)　$x>0$のとき

$1+2\sin x<x+e^x$

が成り立つことを示せ．

(2)　$x\geqq 0$の範囲にあって，$2$つの曲線$y=1+2\sin x\text{，}y=x+e^x$と直線$x=\pi$とで囲まれる領域を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．