2013　慶応義塾大学　看護医療学部

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が${\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}i}{2+\sqrt{3}i}}$を解にもつとき，実数$a\text{，}b$の値は$a=\boxed{\text{(ア)}}\text{，}b=\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　第$50$項が$2013\text{，}$第$500$項が$213$である等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n=\boxed{\text{(ウ)}}$である．また$S_n$が最大となるような$n$の値は$n=\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　実数$a$が$4^a-2\cdot 4^{-a}=1$を満たすとする．このとき$2^a+3\cdot 2^{3a}=\boxed{\text{(オ)}}$である．また，不等式$3n^2-16n+11<0$と${\log }_{2}n\geqq 3a$の両方を満たす自然数$n$は全部で$\boxed{\text{(カ)}}$個ある．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　関数$f(x)=2x^3+9x^2-3x-7$が$x=\alpha$で極大値$M$をとり，$x=\beta$で極小値$m$をとるとき，$\beta -\alpha =\boxed{\text{(キ)}}$であり，$M-m=\boxed{\text{(ク)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=8\text{，}\mathrm{OB}=10\text{，}\mathrm{AB}=12$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{(ケ)}}$である．また，三角形$\mathrm{OAB}$の垂心を$\mathrm{H}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\boxed{\text{(コ)}}$となる．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　$50!$を計算すると，末尾には$0$が連続してちょうど$\boxed{\text{(サ)}}$個ならぶ．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　$2$次関数$y=x^2-2ax+6a\text{（}1\leqq x\leqq 2\text{）}$の最小値が$9$であるとき，定数$a$の値は$a=\boxed{\text{(シ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-2}^5}|x^2-9|dx=\boxed{\text{(ス)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,-1,0)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,2,2)$があり，実数$t$に対して$\overrightarrow{x}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$とする．このとき$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$のなす角が$45\mathrm{°}$となるような$t$の値は$t=\boxed{\text{(セ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　多項式$2x^3-6x^2+7x-5$を多項式$P(x)$で割ると$3x-5$余り，さらに$P(1)=-4$であるとき，$P(x)=\boxed{\text{(ソ)}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}2$人がそれぞれ$1$個ずつさいころを投げ，出た目の積が偶数ならば$\mathrm{A}$の勝ち，奇数ならば$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを繰り返し行う．先に$3$ゲーム勝った方が優勝となり，どちらかが優勝するまでゲームを続けて行う．

(1)　$1$ゲーム目に$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率は$\boxed{\text{(タ)}}$である．

(2)　$3$ゲーム目で$\mathrm{A}$の優勝が決まる確率は$\boxed{\text{(チ)}}$である．

(3)　$5$ゲーム目で$\mathrm{A}$の優勝が決まる確率は$\boxed{\text{(ツ)}}$である．

(4)　$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\boxed{\text{(テ)}}$である．

(5)　どちらかが優勝するまでに$\mathrm{A}$が勝つゲーム数の期待値は$\boxed{\text{(ト)}}$である．

【４】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，次の方程式を満たす$x$の値を求めなさい．

$\sin ({\displaystyle \frac{5}{6}}x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=0$

(2)　次の関数のグラフを解答用紙の所定の欄にかきなさい．

$y=\sin ({\displaystyle \frac{5}{6}}x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

(3)　$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，次の不等式を満たす$x$の値の範囲を求めなさい．

$\sin ({\displaystyle \frac{5}{6}}x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\cos ({\displaystyle \frac{3}{5}}x)>0$

【５】　$p$を$2$以上の自然数とする．また，自然数$n$に対して，

$a_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{p}^k\text{，}{b}_n={}_{p+n}C_p$（ただし，${}_{p+n}C_p$は二項係数）

と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)　すべての自然数$n$に対して，次の不等式$\text{Ⓐ}$が成り立つことを証明しなさい．

$a_{n+1}>p{a}_n\cdots \text{Ⓐ}$

(2)　すべての自然数$n$に対して，次の不等式$\text{Ⓑ}$が成り立つことを証明しなさい．

$b_{n+1}\leqq p{b}_n\cdots \text{Ⓑ}$

(3)　すべての自然数$n$に対して，次の不等式$\text{Ⓒ}$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．

$a_n\geqq b_n\cdots \text{Ⓒ}$