2013　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　すべての実数$x$を定義域とする$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-9x$を考える．

(1)　$f(x)$の極大値は$\boxed{\text{(1)}}$であり，極小値は$\boxed{\text{(2)}\text{(3)}\text{(4)}}$である．

(2)　$f(x)=0$を満たすどの実数$x$よりも大きい整数のうちで，最小のものは$\boxed{\text{(5)}}$である．

(3)　$r={\displaystyle \frac{5}{3}}$とおく．$3^r$よりも小さい整数のうちで，最大のものは$\boxed{\text{(6)}}$である．

(4)　実数$t$が$|t-1|\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$を満たす範囲を動くとき，$3^{3t}-3^{2t+1}-3^{t+2}$は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(7)}}}{\boxed{\text{(8)}}}}$で最小値をとり，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(9)}}}{\boxed{\text{(10)}}}}$で最大値をとる．

【２】　$15$枚のカードがある．このうち$12$枚には$1\text{，}2$枚には$5\text{，}1$枚には$11$と，それぞれ表に印刷されている．このカードを裏返してよく混ぜた後に$1$枚ずつ順に$5$枚を取り出し，取り出したカードの表に印刷された$5$個の数字の合計を$X$とおく．また，残りの$10$枚に印刷された数字の合計を$2$で割った値を$Y$とおく．

(1)　最初に取り出した$1$枚のカードの数字の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(11)}\text{(12)}}}{\boxed{\text{(13)}}}}$である．

(2)　$X<6$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(14)}\text{(15)}}}{\boxed{\text{(16)}\text{(17)}}}}$である．

(3)　$X<Y$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(18)}\text{(19)}}}{\boxed{\text{(20)}\text{(21)}}}}$である．

(4)　$X$の期待値と$Y$の期待値はともに$\boxed{\text{(22)}\text{(23)}}$に等しい．

【３】　座標空間の原点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$および$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}})\text{，}\mathrm{C}({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$を考える．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(24)}}}{\boxed{\text{(25)}}}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(26)}}}{\boxed{\text{(27)}}}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}}}}$である．ただし，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$はベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を表す．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，

${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(30)}}}{\boxed{\text{(31)}}}}$

である．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$へ下ろした垂線と$\alpha$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{CH}$の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(32)}}}{\boxed{\text{(33)}}}}$である．

【４】(1)　不等式$|x^2-4x|<x-2$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　等式$|x^2-4x|=x+a$を満たす実数$x$がちょうど$2$つ存在する実数$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　等式$|x^2-4x|=bx$を満たす$0$でない実数$x$が存在する実数$b$の値の範囲を求めよ．

【５】　$a$と$d$を正の実数とし，$\{a_n\}$を初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列とする．$j$と$k$を$1$以上の整数とし，$b_n={(a_{n+j})}^2-{(a_n)}^2$と$c_n={(a_{n+k})}^2-{(a_n)}^2$で数列$\{b_n\}$と数列$\{c_n\}$を定めるとき，これらは等差数列になる．

(1)　数列$\{b_n\}$の公差を$d$と$j$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$と数列$\{c_n\}$の公差がそれぞれ$9kd$と$25jd$のとき，$k$と$j$の比${\displaystyle \frac{k}{j}}\text{，}$および$d$を求めよ．

【６】　すべての実数$x$を定義域とする関数$f(x)=|x^2-10x+16|$を考える．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^4}f(x)dx$を求めよ．

(2)　区間$a\leqq x\leqq a+8$における$f(x)$の最大値が$9$となる整数$a$を求めよ．

(3)　$k$を実数とする．$\mathrm{A}$は$4\leqq x\leqq 7$を満たす実数$x$の集合，$\mathrm{B}$は$f(x)\leqq k$を満たす実数$x$の集合とする．このとき，$\mathrm{A}\subset \mathrm{B}$も$\mathrm{A}\subset \bar{\mathrm{B}}$も成り立たない$k$の値の範囲を求めよ．ただし$\bar{\mathrm{B}}$は実数全体の集合における$\mathrm{B}$の補集合とする．