2013　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　直線$l:4x-y-1=0$と$2$点$\mathrm{A}(7,10)$と$\mathrm{B}(9,1)$が座標平面上にある．

(ⅰ)　直線$l$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点$\mathrm{C}$の座標は$(-\boxed{\text{(1)}},\boxed{\text{(2)}\text{(3)}}$である．

(ⅱ)　$▵\mathrm{ABC}$の外心の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}}}{\boxed{\text{(5)}}}},\boxed{\text{(6)}})$である．

(ⅲ)　直線$l$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．直線$l$上に点$\mathrm{P}$をとるとき，$▵\mathrm{PAC}=▵\mathrm{PBD}$が成り立つ点$\mathrm{P}$の座標は，$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(7)}}}{\boxed{\text{(8)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(9)}\text{(10)}}}{\boxed{\text{(11)}}}})$または$(-\boxed{\text{(12)}},-\boxed{\text{(13)}})$である．前者の座標を持つ点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$後者の座標を持つ点を${\mathrm{P}}_2$とすると，$▵{\mathrm{P}}_1\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(14)}\text{(15)}}}{\boxed{\text{(16)}}}}\text{，}▵{\mathrm{P}}_2\mathrm{AC}=\boxed{\text{(17)}\text{(18)}}$である．

【２】　空間のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$に対し，空間のベクトル$⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}⟩$を

$⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}⟩=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}$

で定める．

(ⅰ)　$\overrightarrow{p}=(1,2,3)\text{，}$$\overrightarrow{q}=(2,3,1)\text{，}$$\overrightarrow{r}=(3,1,2)$のとき，

$⟨\overrightarrow{p},\overrightarrow{q},\overrightarrow{r}⟩=(\boxed{\text{(19)}\text{(20)}},\boxed{\text{(21)}\text{(22)}},\boxed{\text{(23)}\text{(24)}})$

である．

(ⅱ)　ベクトルの列$\overrightarrow{a_1}\text{，}\overrightarrow{a_2}\text{，}\cdots \text{，}\overrightarrow{a_n}\text{，}\cdots$を，条件

$\overrightarrow{a_1}=(1,2,\sqrt{3})\text{，}$$\overrightarrow{a_{n+1}}=⟨\overrightarrow{a_n},\overrightarrow{a_n},\overrightarrow{a_n}⟩$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．そして、数列$\{x_n\}$を

$x_n={\log }_2\left|\overrightarrow{a_n}\right|$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定めるとき，$\{x_n\}$の一般項を求めなさい．（答えのみを解答用紙の解答欄の所定の枠内に記入しなさい．）

以下，相異なる$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は同じ平面上にないとし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(ⅲ)　$⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}⟩\cdot ⟨\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}⟩=0$が成立するための必要十分条件を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と漢字とかなのみを用いて，あいまいさのない表現で答えなさい．（答えのみを解答用紙の解答欄の所定の枠内に記入しなさい．）

(ⅳ)　$⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}⟩+⟨\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}⟩+⟨\overrightarrow{c},\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩=\overrightarrow{0}$が成立するための必要十分条件を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と漢字とかなのみを用いて，あいまいさのない表現で答えなさい．（答えのみを解答用紙の解答欄の所定の枠内に記入しなさい．）

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$を$a\leqq c$を満たす自然数とし，$x$の$3$次関数$f(x)$を

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$

と定める．

(ⅰ)　方程式$f(x)=0$は必ず実数解$x=\boxed{\text{(25)}}$を持つが，この方程式がそれ以外に実数解を持たず，かつ，$f(x)$が極値を持つための必要十分条件は，

$\boxed{\text{(26)}}ac<b^2<\boxed{\text{(27)}}ac\cdots \text{①}$

である．

(ⅱ)　$\text{①}$を満たす最小の$b$は，$b=\boxed{\text{(28)}}$であり，このとき，$a=\boxed{\text{(29)}}\text{，}c=\boxed{\text{(30)}}$である．$a\text{，}b\text{，}c$がこの値のときの$f(x)$を$\hat{f}(x)$と表すと，$\hat{f}(x)$は$x=-\boxed{\text{(31)}}$のときに最小値$-\boxed{\text{(32)}}$をとり，$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)}}}{\boxed{\text{(34)}}}}$のときに極大値$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(35)}\text{(36)}}}{\boxed{\text{(37)}\text{(38)}}}}$をとる．

(ⅲ)　$\text{①}$を満たす$b$がちょうど$2$つ存在するような$a$と$c$の組の中で，積$ac$が最小になるものを考える．このとき$ac=\boxed{\text{(39)}\text{(40)}}$で，$\text{①}$を満たす$b$は$\boxed{\text{(41)}}$と$\boxed{\text{(42)}}$である．

(ⅳ)　$x$の$2$次関数$g(x)$がすべての自然数$n$に対して

$g(n)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(pk+q)$

を満たすとする．ただし，$p\text{，}q$は自然数とする．曲線$y=g(x)$と曲線$y=\hat{f}(x)$が第$3$象限（$x<0$かつ$y<0$を満たす領域）内で共有点を$1$つだけ持ち，その点における両者の接線が一致するのは，$p=\boxed{\text{(43)}}\text{，}q=\boxed{\text{(44)}}$のときである．このとき，曲線$y=g(x)$と曲線$\hat{f}(x)$で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(45)}}}{\boxed{\text{(46)}\text{(47)}}}}$である．

【４】　ある機械のボタンを押すと，画面に確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$1$と表示され，確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$で$-1$と表示される．この機械のボタンを$4$回押したとき，$i$回目に出た数を$d_i$とする．このとき，座標平面上の点$(2+d_1,2+d_2)$を$\mathrm{A}$とし，点$(-2-d_3,-2-d_4)$を$\mathrm{B}$とする．また，座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．

(ⅰ)　$\mathrm{OA}\leqq \sqrt{10}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(48)}}}{\boxed{\text{(49)}}}}$であり，$\mathrm{OA}\leqq \sqrt{10}$かつ$\mathrm{OB}\leqq \sqrt{10}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(50)}\text{(51)}}}{\boxed{\text{(52)}\text{(53)}}}}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{C}(-1,0)$に対し，$\mathrm{AC}\leqq 3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(54)}}}{\boxed{\text{(55)}}}}$であり，$\mathrm{AC}\leqq 3$かつ$\mathrm{BC}\leqq 3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(56)}\text{(57)}}}{\boxed{\text{(58)}\text{(59)}}}}$である．

(ⅲ)　$\mathrm{AB}\leqq 2\sqrt{5}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(60)}\text{(61)}}}{\boxed{\text{(62)}\text{(63)}}}}$である．

(ⅳ)　$▵\mathrm{OAC}+▵\mathrm{OBC}$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(64)}}}{\boxed{\text{(65)}}}}$である．

(ⅴ)　点$\mathrm{D}({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}})$に対し，$▵\mathrm{OBD}$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(66)}\text{(67)}}}{\boxed{\text{(68)}\text{(69)}}}}$である．