2013　上智大学　理工学部A方式2月7日実施MathJax

【１】(1)　関数$f(x)$の$x=a$における微分係数の定義を述べよ．

(2)　関数$f(x)\text{，}g(x)$が微分可能であるとする．積の微分公式

${(f(x)g(x))}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

を証明せよ．

(3)　$f(x)=x^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$に対し，

$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$

であることを，数学的帰納法により示せ．

【２】　$xy$平面上の$2$点$(-1,0)\text{，}(1,0)$からの距離の積が$1$である点全体のなす集合を$C$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$の原点$\mathrm{O}$からの距離を$r\text{，}x$軸の正の向きと$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とすると

$(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$

が成り立つ．

(1)　$C$は極方程式

$r^2=2\cos 2\theta$

で定義される曲線になることを示せ．

(2)　$C$上で$x$座標が最大になる点の座標を求めよ．また，$y$座標が最大になる点の座標を求めよ．

(3)　$C$の概形を図示せよ．

(4)　$C$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に外分する点を${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$3:2$に外分する点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．すなわち，

$\overrightarrow{{\mathrm{OB}}^{\prime }}=2\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{OC}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

とする．

${\mathrm{AB}}^{\prime }=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\text{，}{\mathrm{AC}}^{\prime }=\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }=\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$

であり，$▵{\mathrm{AB}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$である．四角錐$\mathrm{A}‐{\mathrm{AB}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{C}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$である．点$\mathrm{O}$を中心とする球が$▵{\mathrm{AB}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$を含む平面と点$\mathrm{H}$で接しているとき，

$\mathrm{OH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

である．

　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．直線$\mathrm{OG}$が$▵{\mathrm{AB}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$と交わる点を${\mathrm{G}}^{\prime }$とすると，

$\overrightarrow{{\mathrm{OG}}^{\prime }}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OG}}$

である．

【４】　$\log A$は$A$の自然対数，$e$は自然対数の底を表す．

次の事実は使ってよい．$f(x)=(x+\sqrt{x^2+k})\text{（}k>0\text{）}$のとき，

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+k}}}$

が成り立つ．

(1)　$xy$平面上で，点$(0,1)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．動点$\mathrm{P}$が時刻$t=0$に原点$(0,0)$を出発し，$x$軸上を正の向きに進むとき，$\mathrm{P}$と点$(0,2)$とを通る直線が円$C$と交わる点で$(0,2)$以外の点を$\mathrm{Q}$とする．時刻$t$における点$\mathrm{P}$の座標を$(x(t),0)$とすると，そのときの点$\mathrm{Q}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}x(t)}{{x(t)}^2+\boxed{\text{タ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}{x(t)}^2}{{x(t)}^2+\boxed{\text{タ}}}})$

であり，点$\mathrm{Q}$の速さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{{x(t)}^2+\boxed{\text{テ}}}}\times {\displaystyle \frac{dx(t)}{dt}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$の速さと点$\mathrm{Q}$の速さの積が常に$1$に保たれていると仮定する．このとき

$\log (x(t)+\sqrt{{x(t)}^2+\boxed{\text{ト}}})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}t+\log \boxed{\text{ヌ}}$

が成り立つ．したがって，

$x(t)=e^{at}+\boxed{\text{ネ}}{e}^{-at}$

となる．ここで，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}>0$である．