2013　東邦大学　看護学部MathJax

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(1)　$a=\sqrt{5}+1\text{，}b=\sqrt{3}-1$のとき，$(a+b)(a-b-2)$の値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(2)　$x^2(x+2)-(x+2)$を因数分解せよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(3)　$2$次方程式$x^2+5x+3=0$を解け．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(4)　放物線$y=x^2$を$x$軸方向$+1\text{，}y$軸方向$-2$平行移動した放物線の方程式を$y=x^2+ax+b$とする．$a\text{，}b$の値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(5)　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，$\sin \theta \times \cos \theta$の値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(6)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=8\text{，}\angle \mathrm{B}=150\mathrm{°}$のとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(7)　サイコロを$3$回投げて出た目の和を$N$とする．$N$が$9$で割り切れる場合の起こる確率を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=3\text{，}\angle \mathrm{A}=60\mathrm{°}$のとき$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(2)　放物線$y=a{x}^2-6x$のグラフが，常に直線$y=-1$より上にあるような，定数$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(3)　整式$P(x)$を$x^2-2x$で割ると余りが$x+1$で，$x+1$で割ると余りが$1$であるとき，$P(x)$を$(x^2-2x)(x+1)$で割ったときの余りを求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(4)　$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}x+y=4$のとき，$x^2+2y^2$の最小値と，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(5)　整数$n$に対して，$2$次方程式$(x+2)(x+5)=nx$が$2$つの異なる整数の解をもつとき，$n$の値をすべて求めよ．

【３】　右図において，四角形$\mathrm{ABCD}$は$\mathrm{AB}=9\text{，}\mathrm{BC}=8$の長方形である．$4$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$は長方形$\mathrm{ABCD}$の辺上にあり，次の$4$条件を満たしている．

・点$\mathrm{E}$は辺$\mathrm{DA}$上の点で，$0<\mathrm{DE}\leqq \mathrm{DA}$である．

・点$\mathrm{F}$は辺$\mathrm{AB}$上の点で，$\mathrm{FB}=4$である．

・点$\mathrm{G}$は辺$\mathrm{BC}$上の点で，$\mathrm{BG}=3$である．

・点$\mathrm{H}$は辺$\mathrm{DC}$上または辺$\mathrm{CB}$上の点で，常に$\mathrm{EH}⫽\mathrm{FG}$が成立している．

　いま，四角形$\mathrm{EFGH}$の辺$\mathrm{EH}$上の点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{FG}$に垂線を下し，それを垂線$\mathrm{PQ}$とする．

　このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さを$t$とおいて次の各問に答えよ．

(1)　に適する数値を補え．

(ⅰ)　$t=3$のとき，線分$\mathrm{HC}$の長さは$\boxed{\text{①}}$となり，図のように線分$\mathrm{EH}$と線分$\mathrm{BC}$の延長線との交点を$\mathrm{R}$とすると，線分$\mathrm{GR}$の長さは$\boxed{\text{②}}$となる．

　よって，垂線$\mathrm{PQ}$の長さは$\boxed{\text{③}}$となる．

(ⅱ)　$t={\displaystyle \frac{27}{4}}$のとき，線分$\mathrm{DH}$の長さは$\boxed{\text{④}}$となり，線分$\mathrm{EH}$の長さは$\boxed{\text{⑤}}$となる．

(ⅲ)　$t=7$のとき，線分$\mathrm{CH}$の長さは$\boxed{\text{⑥}}$となり，垂線$\mathrm{PQ}$の長さは$\boxed{\text{⑦}}$となる．

(2)　垂線$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．