2013　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$i$を虚数単位とするとき${\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{2}{1+i}}}}$の実部は$\boxed{\text{ア}}$であり虚部は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　${(x^2+x+1)}^6$を展開したとき，$x^{10}$の係数は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$\sqrt{2}\text{，}\sqrt[3]{3}\text{，}\sqrt[4]{5}\text{，}\sqrt[6]{11}$の中で最大のものは$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2$で，$5\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$が垂直であるとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{オ}}$であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は$\boxed{\text{カ}}\mathrm{°}$(度)となる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$は$x=0$で微分可能で$f^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{2}{3}}$である．このとき

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f\left({\displaystyle \frac{h}{2}}\right)-f(-{\displaystyle \frac{h}{3}})}{h}}=\boxed{\text{キ}}$

である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅵ)　$4$人で一斉にジャンケンをする．このとき，$1$回で勝負が決まり$2$人が勝つ確率は$\boxed{\text{ク}}$である．ただし，各人のグー・チョキ・バーの出し方はそれぞれ同様に足しからしいものとする．

【２】　定数$k>0$に対して不等式

$\begin{array}{cc}6x^2-7kx+2k^2<0& \cdots \text{(A)}\\ x^2-9x+18<0& \cdots \text{(B)}\end{array}$

を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$k=2$のとき，不等式(A)を満たす$x$の範囲を求めよ．

(ⅱ)　不等式(A)を満たす$x$が必ず不等式(B)も満たすような，$k$の範囲を求めよ．

(ⅲ)　不等式(A)と不等式(B)を同時に満たす$x$が存在するような，$k$の範囲を求めよ．

(ⅱ)　不等式(A)と不等式(B)を同時に満たす整数$x$がただ一つであるような，$k$の範囲を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上で，$k>0$および角$\theta$（ラジアン）に対して座標が

$(k\cos \theta -\sin \theta ,k\sin \theta +\cos \theta )$

である点を${\mathrm{P}}_k(\theta )$で表す．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　点${\mathrm{P}}_2\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)$を求めよ．

(ⅱ)　直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k(\theta )$と直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k(\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$は垂直であることを示せ．

(ⅲ)　$k$は定数として，$\theta$を変化させたとき，点${\mathrm{P}}_k(\theta )$は原点$\mathrm{O}$を中心とする円周上の点を動く．この円の方程式を求めよ．

(ⅳ)　点${\mathrm{P}}_k(\theta )$と点$\mathrm{Q}(k^2+1,k^2+1)$との距離が最小となる角$\theta$に対して，$\tan \theta$を求めよ．

【４】　曲線$C$が媒介変数$t$を用いて

と表されている．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を，$t$の式で表せ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}$を，$t$の式で表せ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$を，$t=-1$のときの$C$上の点とする．直線$l$が$\mathrm{P}$で$C$と接しているとき，$l$と$C$は$\mathrm{P}$以外の点$\mathrm{Q}$で$C$と交わっている．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)で求めた$l$と$C$とで囲まれる部分の面積を求めよ．