2013　南山大　数理情報A2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$x$の整式$x^3+3m{x}^2+2(m^2-1)x-4$が${(x+2)}^2$で割り切れるとする．このとき，$m$の値は$m=\boxed{\text{ア}}$であり，商は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}x+1& 2\\ -5& y-2\end{array}\right)$がある．$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$を満たすとき，$x$と$y$の値を求めると$(x,y)=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$A$が逆行列をもたないような$2$つの正の整数$x$と$y$の値を求めると$(x,y)=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$a$は$1$ではない実数，$k$は$3$以上の整数とする．初項が$a\text{，}$第$2$項が$1$の等差数列があり，その第$k$項を$b$とする．$b$を$a$と$k$で表すと$b=\boxed{\text{オ}}$である．この$b$に対して，初項が$1\text{，}$第$2$項が$a\text{，}$第$3$項が$b$の数列が等比数列になるとき，$a$を$k$で表すと$a=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(2,\log 2)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l\text{，}\mathrm{P}$を通り$l$と垂直な直線を$m$とし，$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$m$の方程式を求めると$y=\boxed{\text{キ}}$である．また，$▵\mathrm{PQR}$の面積$S$を求めると$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の最大値が$6$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，出た目の最大値と最小値の組が$(6,1)$となる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,3)$がある．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$\mathrm{O}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

を満たすような実数$s\text{，}t$の値を求めよ．また，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の半径$r$を求めよ．

【３】　$2$つの関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{e^x}{{(1+e^x)}^2}}$

とする．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　すべての$x$について$g(-x)=g(x)$が成り立つことを示せ．

(3)　$a$を正の定数とする．このとき，次の$2$つの定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{-a}^a}xg(x)dx\text{，}{\displaystyle {\int }_{-a}^a}|x|g(x)dx$