2013　南山大　外国語・法2月12日実施

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$1$より大きい実数$a$が$a^3+{\displaystyle \frac{1}{a^3}}=18$を満たすとき，$a+{\displaystyle \frac{1}{a}}$の値は$a+{\displaystyle \frac{1}{a}}=\boxed{\text{ア}}$であり，$a^2-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$の値は$a^2-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$0<\theta <\pi$とする．方程式$\sin \theta =\sin 2\theta$を解くと$\theta =\boxed{\text{ウ}}$であり，方程式$\sin \theta +\sin 2\theta =\sin 3\theta$を解くと$\theta =\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$a>\sqrt{2}$のとき，$x$の不等式${\left({\displaystyle \frac{1}{a^2-1}}\right)}^x<a^4-2a^2+1$を解くと$\boxed{\text{オ}}$である．また，不等式$(y-1)({\log }_{2}3-{\log }_3{2}^y)>0$を解くと$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　実数$a$に対し，曲線$C:y=x^2+ax+{\displaystyle \frac{3}{2}}$と直線$l:y=2x+1$を考える．$C$と$l$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{キ}}$である．また，$0<x<1$において$C$と$l$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　座標平面上に放物線$D:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x+2$と$D$上の点$\mathrm{P}(-2,2)$がある．また，$\mathrm{P}$における$D$の接線を$l$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　円$C$は，半径が$r$で中心が$(r,2)$であり，直線$l$と接しているとする．$C$と$l$との接点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a$とするとき，$\mathrm{A}$を通り$l$と垂直に交わる直線の方程式を$a$で表せ．また，その直線が$C$の中心を通ることを用いて$r$を$a$で表せ．

(3)　(2)の$r$の値を求めよ．

(4)　(2)の$C$の外側で$D$と$C$と$l$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．