2013　同志社大　神・心理・商学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$a\text{，}b$を正の定数とする．関数$f(x)=x^3-a{x}^2+b$について，$f^{\prime }(x)=0$となる$x$の値は，$0$と$\boxed{\text{ア}}$である．$3$次方程式$f(x)=0$が$2$重解$x=2$をもつとき$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}b=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$1$個のさいころを投げたとき，その出た目を$A$とする．$\cos {\displaystyle \frac{A}{4}}\pi =0$となる確率は$\boxed{\text{エ}}$である．$\cos {\displaystyle \frac{A}{4}}\pi =0$の値の期待値は$\boxed{\text{オ}}$である．

次に，赤白$2$個のさいころを投げて，赤いさいころの出た目を$B\text{，}$白いさいころの出た目を$C$とする．$\cos {\displaystyle \frac{B+C}{4}}\pi$の値の期待値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　$n$を$1$以上の整数とし，$k$を$1\leqq k\leqq n$をみたす整数とする．$n$個の異なるものから$k$個のものを取り出して並べた順列の総数を${}_{n}P_k$と表す．${\displaystyle \sum _{k=1}^3}{}_{3}P_k$の値は$\boxed{\text{キ}}$であり，${\log }_{10}\left({\displaystyle \sum _{k=1}^3}{}_{3}P_k\right)=a+b{\log }_{10}2+c{\log }_{10}3$をみたす整数$a\text{，}b\text{，}c$の組は$(a,b,c)=\boxed{\text{ク}}$である．

一方，等式${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\log }_{10}{}_{n}P_k={\displaystyle \sum _{j=1}^n}(\boxed{\text{ケ}}\times {\log }_{10}j)$が成り立つ．よって${\displaystyle \sum _{k=1}^6}{\log }_{10}{}_{6}P_k=p+q{\log }_{10}2+r{\log }_{10}3$をみたす整数$p\text{，}q\text{，}r$の組は$(p,q,r)=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-|x|+1$について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$の概形を描け．

(2)　傾きが$2$で曲線$y=f(x)$に接する直線を$L$とする．また，点$(-2,1)$における曲線$y=f(x)$の接線を$M$とする．$L$と$M$の方程式をそれぞれ求めよ．

(3)　$2$つの直線$L\text{，}M$の交点の座標を求めよ．

(4)　$2$つの直線$L\text{，}M$および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{BC}$の長さが等しい四面体$\mathrm{OABC}$を考える．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の大きさをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．また，点$\mathrm{G}$を$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{1}{4}}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})$で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの面をなす$4$つの三角形が互いに合同であるとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$と，ベクトルの大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|$をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの面をなす$4$つの三角形が互いに合同であるとき，ベクトルの大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{AG}}\right|$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの面をなす$4$つの三角形が互いに合同であるとき，四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心を表す位置ベクトルと半径をそれぞれ求めよ．