2013　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$k$を定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上にある直線$L:y=-x+k$と円$C:{(x-2)}^2+{(y-2)}^2=8$が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わっている．このとき，$k$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}<k<\boxed{\text{イ}}$である．円$C$が直線$L$を切り取る弦$\mathrm{AB}$の長さを，$k$の式として表すと$\boxed{\text{ウ}}$となり，$▵\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{エ}}$となる．また，$k=\boxed{\text{オ}}$のとき，$▵\mathrm{OAB}$は正三角形となり，このとき$▵\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{カ}}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$n$を$1$以上の整数とし，数列$\{a_n\}$に対して$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．$a_1=1\text{，}4S_n=(n+3)a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つとする．このとき，$a_2=\boxed{\text{キ}}$であり，また$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表すと$a_{n+1}=\boxed{\text{ク}}$である．$n$を用いて，一般項は，$a_n=\boxed{\text{ケ}}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k+2}{a_k}}=\boxed{\text{コ}}$となる．

【２】　関数$f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 3$のとき$t=x^2-3x$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　関数$f(x)$を$t$の式で表せ．

(3)　$0\leqq x\leqq 3$において，関数$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．

(4)　$k$を実数とする．$0\leqq x\leqq 3$において，方程式$f(x)=k$の互いに異なる実数解の個数が$2$個となるための$k$の条件を求めよ．

【３】　$N$を$1$以上の整数とする．$N$の約数の和が，その整数の$2$倍になるときその整数$N$を完全数という．その例の$1$つとして$N=28$が知られている．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$28$の約数をすべて求めよ．また$28$が完全数であることを示せ．

(2)　異なる$2$つの素数$a\text{，}b$に対して，この$2$つの数の積$N=ab$で表される完全数をすべて求めよ．

(3)　$x\geqq 2$のとき，不等式$1<{\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}}\leqq 7$が成り立つことを示せ．

(4)　異なる$2$つの素数$c\text{，}d$に対して，この$2$つの数を用いて作られる数$N=c^{2}d$で表される完全数をすべて求めよ．

(5)　異なる$2$つの素数$e\text{，}f$に対して，この$2$つの数を用いて作られる数$N=e^2{f}^2$で表される完全数が存在しないことを示せ．