2013　同志社大学　理工学部2月10日実施MathJax

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2013　同志社大学　理工学部2月10日実施

易□　並□　難□

【１】　次のに適する数を，解答用紙の同じ記号の付いたの中に記入せよ．

(1)　行列 $A = (\begin{matrix} \cos α & \sin α \\ \sin α & - \cos α \end{matrix})$ と $B = (\begin{matrix} \cos β & \sin β \\ \sin β & - \cos β \end{matrix}) （ 0 < β < α < 2 π ）$ の積 $A B$ の $(1, 1)$ 成分は $θ = α - β$ を用いて表すと $ア$ となり， $(1, 2)$ 成分は $θ$ を用いて表すと $イ$ となる．ここで点 $P_{1} (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ が $A B$ で表される $1$ 次変換によって点 $P_{2} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})$ に移るとすると $θ = ウ$ となる．このとき， ${(A B)}^{25}$ で表される $1$ 次変換によって点 $P_{1}$ が移る点の $x$ 座標は $エ$ となり， ${({(A B)}^{- 1})}^{2013}$ で点 $P_{1}$ が移る点の $x$ 座標は $オ$ となる．

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易□　並□　難□

【１】　次のに適する数を，解答用紙の同じ記号の付いたの中に記入せよ．

(2)　関数 $f (x) = (a x^{2} + b x) e^{- x^{2}}$ は $x = \frac{1}{2}$ で極大値 $1$ をとるとする．このとき， $a = カ， b = キ$ であり， $f (x) > 0$ を満たす範囲は $0 < x < ク$ となる．この区間で関数 $g (x) = \log f (x)$ を考える．曲線 $C : y = g (x)$ の点 $(1, - \frac{3}{4})$ における接線の方程式は $y = ケ$ となり，曲線 $C$ と直線 $y = k$ が共有点をもたない $k$ の値の範囲は $コ$ となる．

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【２】　 $O$ を原点とする座標平面に点 $A (2, 1)$ と点 $B (1, - 2)$ をとる．実数 $θ （ 0 ≦ θ < 2 π ）$ に対して点 $P$ は $\vec{OP} = (\cos θ) \vec{OA} + (1 - \sin θ) \vec{OB}$ を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)　内積 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を求めよ．

(2)　 $θ$ が $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす値をとって変化するとき，点 $P$ の軌跡を求めよ．

(3)　内積 $\vec{PA} \cdot \vec{PB}$ の最大値と，そのときの $θ$ の値を求めよ．

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2013　同志社大学　理工学部2月10日実施

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【３】　 $α$ は $0 ≦ α ≦ \frac{π}{2}$ を満たす実数とする． $x y$ 平面において，曲線 $C : y = \cos^{3} x (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}) ，$ 直線 $l : y = \cos^{3} α$ および $y$ 軸で囲まれた図形を $D_{1}$ とする．また，曲線 $C ，$ 直線 $l$ および直線 $x = \frac{π}{2}$ で囲まれた図形を $D_{2}$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $D_{1}$ の面積 $S_{1}$ と $D_{2}$ の面積 $S_{2}$ が等しくなるとき， $\cos α$ の値を求めよ．

(2)　 $S_{1}$ と $S_{2}$ の和の最小値を求めよ．

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【４】　 $x y$ 平面において，曲線 $C : y = \log x$ 上に $2$ 点 $A (a, \log a)$ と $B (a + h, \log (a + h)) （ h \neq 0 ）$ とする．点 $A$ における $C$ の法線と点 $B$ における $C$ の法線の交点を $D (α, β)$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　点 $A$ における法線の方程式を求めよ．

(2)　 $α$ と $β$ をそれぞれ $a$ と $h$ を用いて表せ．

(3)　 $p = \lim_{h \to 0} α$ と $q = \lim_{h \to 0} β$ とする． $p$ と $q$ をそれぞれ $a$ を用いて表せ．

(4)　点 $E$ の座標を $(p, q)$ とする．線分 $AE$ の長さを最小にする $a$ の値と，そのときの線分 $AE$ の長さを求めよ．