2013　関西大　文系学部2月1日実施MathJax

$x^2+(3k+3)x+10-k=0$

の解が${\log }_4{a}^4$と${\log }_{2}8a$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$t={\log }_{2}a$とおく．このとき，${\log }_4{a}^4$および${\log }_{2}8a$を$t$を用いて表せ．

(2)　$k$および$a$の値を求めよ．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}(a,a^2-4a+4)$における直線の方程式は$y=\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$C$上の点$\mathrm{P}(a,a^2-4a+4)$と直線$l$の距離を$a$を用いて表すと$\boxed{\text{②}}$である．$\boxed{\text{②}}$は，$a=\boxed{\text{③}}$のとき最小値$\boxed{\text{④}}$をとる．また，$a=\boxed{\text{③}}$のとき，点$\mathrm{P}$との距離が最小となる$l$上の点の座標は$\boxed{\text{⑤}}$である．

(3)　連立不等式

$y\leqq x^2-4x+4\text{，}y\geqq -x+1\text{，}0\leqq x\leqq 2\text{，}y\geqq 0$

の表す領域の面積は$\boxed{\text{⑥}}$である．

　$t$を正の実数とする．原点を$\mathrm{O}(0,0,0)$とする座標空間に，$3$点$\mathrm{A}(t,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$がある．$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=\boxed{\text{①}}$である．残りの辺の長さを$t$を用いて表すと，

$\mathrm{AB}=\boxed{\text{②}}\text{，}\mathrm{CA}=\boxed{\text{③}}$

である．$▵\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{B}$における内角を$\theta$として，$\sin \theta$の値を$t$を用いて表すと，

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{④}}}{\sqrt{2t^2+2}}}$

である．$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とし，原点$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ABC}$へ下ろした垂線と$▵\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{OH}$の長さを$h$とすると，$R$と$h$は$t$を用いてそれぞれ

$R={\displaystyle \frac{t^2+1}{\sqrt{\boxed{\text{⑤}}}}}\text{，}h={\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑥}}}{\sqrt{2t^2+1}}}$

と表すことができる．