2013　関西大　文系学部2月4日実施MathJax

【１】　$\mathrm{AB}=\mathrm{CA}=5\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{10}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$s$を$0<s<1$を満たす実数とし，辺$\mathrm{CA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{MD}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$および$s$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{D}$を(2)で定めた点とする．$\overrightarrow{\mathrm{MD}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CA}}$となるとき，$s$の値を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\log }_4(x+2)+{\log }_2(1-x)$を考える．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$f(x)$の定義域は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$f(x)={\log }_{4}g(x)$となる多項式$g(x)$を求めると，$g(x)=\boxed{\text{②}}$である．定義域を実数全体とする関数$y=g(x)$は，$x=\boxed{\text{③}}$のとき極大値$\boxed{\text{④}}$をとり，$x=\boxed{\text{⑤}}$のとき極小値$\boxed{\text{⑥}}$をとる．

(3)　関数$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　放物線$C:y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3x$と直線$l:y=-x+6$の$2$つの共有点のうち，$x$座標が小さい方を$\mathrm{P}\text{，}$大きい方を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{①}}\text{，}$点$\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{②}}$である．また，$C$と$l$とで囲まれる部分の面積を$S$とすると，$S=\boxed{\text{③}}$である．点$\mathrm{R}$を$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が$\mathrm{PR}=\mathrm{QR}$となる二等辺三角形の頂点をなすようにとる．このとき，$\mathrm{R}$は$l$に垂直な直線$y=\boxed{\text{④}}$上にある．点$\mathrm{R}$が不等式$y\leqq -x+6$の表す領域内にあり，$▵\mathrm{PQR}$の面積が$S$に一致するとき，$\mathrm{R}$の$x$座標は$\boxed{\text{⑤}}$である．