2013　関西大　総合情報学部2月1日実施MathJax

【１】　$a$は正の定数とする．放物線$C:y=x^2+1$と$C$上の$x$座標が$a$である点における接線$l$について考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$が$y$軸と交わる点の$y$座標を$y_a$とする．$y_a<0$が成り立つとき，定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)を満たすとき，放物線$C\text{，}$接線$l\text{，}x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，接線$l\text{，}x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1:S_2=2:1$となるような$a$の値を求めよ．

【２】　自然数$n$に対して，数列$\{a_n\}$は，初項$a_1={\displaystyle \frac{1}{100}}$で

$a_{n+1}=n{a}_n+n^2-2\text{（}n\geqq 1\text{）}$

を満たしている．この$a_n$に対し，$p\text{，}q$を定数とし，

$b_n=a_n+pn+q\text{（}n\geqq 1\text{）}$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 1$に対して，$b_{n+1}=n{b}_n$が成り立つような定数$p\text{，}q$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$に対して，一般項$a_n$を求めよ．必要ならば，$n$の階乗$n!$（$=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$）を用いてもよい．

(3)　$a_n$が整数となる最小の$n$を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に円$C:x^2+y^2=50$がある．点$\mathrm{P}(4,3)$を通り，直線$\mathrm{OP}$に垂直な直線が，円$C$と交わる点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標の方が$\mathrm{B}$の$x$座標より大きい．このとき，直線$\mathrm{AB}$の傾きは$\boxed{\text{①}}$であるので，直線$\mathrm{AB}$の方程式は

$y=\boxed{\text{②}}$

となる．したがって，点$\mathrm{A}$の座標は$\boxed{\text{③}}$であり，点$\mathrm{B}$の座標は$\boxed{\text{④}}$である．

　円$C$上に点$\mathrm{D}$をとる．$▵\mathrm{ABD}$の面積が$50$であるとき，点$\mathrm{D}$の$x$座標は，$\boxed{\text{⑤}}$または$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　数直線上を動く点$\mathrm{A}$があり，最初は原点にある．点$\mathrm{A}$は，硬貨を投げて表が出たら$+1$だけ移動し，裏が出たら$-1$だけ移動する．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　硬貨を$2$回投げた結果，点$\mathrm{A}$が原点にある確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　硬貨を$4$回投げた結果，点$\mathrm{A}$が原点にある確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　硬貨を$6$回投げた結果，点$\mathrm{A}$の座標が$1$以上となっている確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　硬貨を$6$回投げる．そのとき，「$2$回目を投げた結果，点$\mathrm{A}$が原点にある」かつ「$6$回目を投げた結果，点$\mathrm{A}$が原点にある」確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　硬貨を$6$回投げる．そのとき，「$2$回目を投げた結果，点$\mathrm{A}$が原点にある」または「$6$回目を投げた結果，点$\mathrm{A}$が原点にある」確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．