2013　関西大　理系学部2月5日実施MathJax

【１】　$a$を実数の定数とする．関数$f(x)=x\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{x}}}\text{（}1\leqq x\leqq 4\text{）}$があり，$f^{\prime }(2)=0$である．また，曲線$y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{A}(1,f(1))\text{，}\mathrm{B}(4,f(4))$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減表を書き，極値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$の概形を解答欄の座標平面上にかけ．ただし，そのグラフには$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標や極値を記入すること．

(4)　座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．曲線$y=f(x)$と直線$x=4\text{，}x$軸，および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=-2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-3\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-4$である．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(1)　$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\boxed{\text{①}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\boxed{\text{②}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=\boxed{\text{③}}$である．

(2)　$p\text{，}$$q$を実数の定数とする．$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=p\overrightarrow{b}+q\overrightarrow{c}$とおく．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$\mathrm{OM}\perp \mathrm{AM}$であることから

$\boxed{\text{④}}p+4q=3$

である．さらに，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{ON}$と$\mathrm{AN}$との関係を考えることにより

$p=\boxed{\text{⑤}}\text{，}$$q=\boxed{\text{⑥}}$

と求められる．

(3)　辺$\mathrm{AB}$を直径とする円と辺$\mathrm{AC}$との交点のうち$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$との交点のうち$\mathrm{B}$でない方を$\mathrm{E}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\boxed{\text{⑦}}\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\boxed{\text{⑧}}\overrightarrow{b}+\boxed{\text{⑨}}\overrightarrow{c}$

である．また，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{H}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\boxed{\text{⑩}}\overrightarrow{b}+\boxed{\text{⑪}}\overrightarrow{c}$

である．

【３】　$a\text{，}b$を実数の定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b)$があり，線分$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}(x,y)$とする．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が，$\mathrm{AB}=4$を満たしながら動くときの点$\mathrm{P}$の描く軌跡は楕円である．この楕円を$C$とし，楕円$C$の$2$つの焦点を$\mathrm{F}\text{，}{\mathrm{F}}^{\prime }$とする．ただし，焦点$\mathrm{F}$の$x$座標を正とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　楕円$C$の方程式は

${\displaystyle \frac{x^2}{\boxed{\text{①}}}}+y^2=\boxed{\text{②}}$

である．

(2)　焦点$\mathrm{F}\text{，}{\mathrm{F}}^{\prime }$の座標はそれぞれ$(\boxed{\text{③}},0)\text{，}(-\boxed{\text{③}},0)$であり

$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=\boxed{\text{④}}$

である．

(3)　$\mathrm{OP}=k$とすると，${\mathrm{PF}}^2+{{\mathrm{PF}}^{\prime }}^2$と$\mathrm{PF}\cdot {\mathrm{PF}}^{\prime }$はそれぞれ$k$を用いて

${\mathrm{PF}}^2+{{\mathrm{PF}}^{\prime }}^2=\boxed{\text{⑤}}\text{，}\mathrm{PF}\cdot {\mathrm{PF}}^{\prime }=\boxed{\text{⑥}}$

と表すことができる．

　よって，$\angle {\mathrm{FPF}}^{\prime }=\alpha \text{（}0\leqq \alpha <\pi \text{）}$とすると，$\cos \alpha$は$k$を用いて

$\cos \alpha =-1-{\displaystyle \frac{2}{\boxed{\text{⑦}}}}$

と表されるので，$\cos \alpha$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{⑧}}$である．

(4)　直線$y={\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{3}}}x$と楕円$C$の$2$つの交点の$x$座標は$\boxed{\text{⑨}}$である．また，楕円$C$の$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$の部分と直線$y={\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{3}}}x\text{，}$および$x$軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{⑩}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$1$個のさいころを$2$回投げたとき，出た目を順に$a\text{，}b$とする．$P=(a-2)(b-2)$とするとき，$P=0$となる確率は$\boxed{\text{①}}$であり，$P>0$となる確率は$\boxed{\text{②}}$である．また，$P>2$となる確率は$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　数列$\{a_n\}$は

$a_1=-1\text{，}3a_{n+1}=2a_n-2$

を満たしている．数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$c$を実数の定数，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$2$次方程式$x^2-4cx+1-3c=0$は異なる$2$つの実数解$\tan \alpha \text{，}\tan \beta$をもつとする．このとき，$c$の値の範囲は$\boxed{\text{⑤}}$であり，$\tan (\alpha +\beta )$の値は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$a$を実数の定数とする．$2$つの$2$次不等式

$\begin{array}{ll}{x}^2-x-6\leqq 0& \cdots \text{(A)}\\ x^2-(2a-3)x+a^2-3a-10\leqq 0& \cdots \text{(B)}\end{array}$

がある．不等式(A)を満たすすべての$x$が不等式(B)を満たすような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{⑦}}$であり，不等式(A)と不等式(B)を同時に満たす$x$が存在するような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{⑧}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$k$を実数の定数，$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 0\end{array}\right)$とする．

$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

を満たす$x=y=0$の実数$x\text{，}y$が存在するような$k$の値は$\boxed{\text{⑨}}$である．また，$A$が表す$1$次変換によって平面上の$2$点$(m,n)\text{，}(n,m)$が移された点と原点$(0,0)$の$3$点を頂点とする三角形の面積が$16$になるような正の整数$m\text{，}n$の組は$(m,n)=\boxed{\text{⑩}}$である．ただし，$m>n$とする．