2013　関西大　後期　総合情報学部3月4日実施MathJax

【１】　直線$l$を

$l:y={\displaystyle \frac{\sin \theta -\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta }}x+{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta +\cos \theta }}+1$

とする．直線$l$上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標は，それぞれ$\cos \theta \text{，}-\sin \theta$である．$\theta$は$\sin \theta +\cos \theta \ne 0$であるように変化する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は，共に，$\theta$に無関係に決まるある$1$つの円$C_1$の周上にあることを示し，$C_1$の方程式を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　直線$l$は，$\theta$に無関係に決まるある$1$つの円$C_2$に接していることを示し，$C_2$の方程式を求めよ．

【２】　円$C$の$1$つの直径の両端を点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$とする．いま，この$C$の周上を動く$2$つの動点${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}\text{，}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$があり，それぞれ次の規則で動く．

規則：${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$は点$\mathrm{A}$を出発点とし，右回りで一定の速さで動き，$C$を一周するのに$n_{\mathrm{A}}$秒かかる．${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}$は点$\mathrm{B}$を出発点とし，左回りで一定の速さで動き，$C$を一周するのに$n_{\mathrm{B}}$秒かかる．ただし，$n_{\mathrm{A}}\text{，}{n}_{\mathrm{B}}$は共に正の整数とする．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　時刻$0$秒で${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}\text{，}{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}$は同時に動き始める．最初に${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$と${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}$が出会う時刻を$t_1$秒とする．このとき，$t_1$を求めよ．

(2)　同様に，$k$回目に出会う時刻を$t_k$秒とする．このとき，$t_2\text{，}{t}_3$を求めよ．

(3)　時刻$0$秒から時刻$n_{\mathrm{A}}\times {\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}$秒の間に，${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$と${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}$が出会う回数を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$4$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$0<t<1$とする．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積は，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}t$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{PS}}$であるとき，$t$の値は，$t=\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a>b$で$a+b=3\text{，}ab=1$を満たすとき，

${\displaystyle \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}=\boxed{\text{①}}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$3$個のサイコロを同時に振って，出た目の積を$m$とする．$m$が$24$となる確率は$\boxed{\text{②}}$である．また，$m$が$3$で割り切れる確率は$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　不等式

${\log }_2(x+3)-{\log }_4(2-x)\leqq 1$

を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{④}}$である．