2013　関西学院大　文系学部全学日程2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　半径$\sqrt{2}$の円に内接する$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=2\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{6}$とし，$A>90\mathrm{°}$とする．このとき，正弦定理より$A=\boxed{\text{ア}}\text{，}B=\boxed{\text{イ}}$である．また，$A=\boxed{\text{ア}}$であることと余弦定理から，$\mathrm{AB}$の長さの値は$\mathrm{AB}=\boxed{\text{ウ}}$となることがわかる．したがって$\sin C$の値は$\sin C=\boxed{\text{エ}}$である．さらに$▵\mathrm{ABC}$の面積の値は$\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$から$9$までの番号が$1$つずつかかれた$9$個の玉が袋に入っている．その袋から同時に$2$個の玉を取り出すとすると，取り出す$2$個の玉の組合せの総数は$\boxed{\text{カ}}$である．また，取り出した$2$個の玉のうち番号が偶数である玉の個数を$X$とすると，$X=0$となる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．さらに$X=1$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$X=2$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．したがって$X$の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$i$を虚数単位として$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とおくと${\omega }^2=\boxed{\text{ア}}\text{，}{\omega }^3=\boxed{\text{イ}}$である．整数$a\text{，}b\text{，}c$に対して$x$についての$3$次式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が条件

• (ⅰ)　$f(\sqrt{2})=0$
• (ⅰ)　$f(\omega )$は実数となる

を満たすとき，$a=\boxed{\text{ウ}}\text{，}b=\boxed{\text{エ}}\text{，}c=\boxed{\text{オ}}$である．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$2$つの実数$p\text{，}q$がある．$p$を初項，$q$を公差とする等差数列を$\{a_n\}\text{，}q$を初項，$p$を公差とする等差数列を$\{b_n\}$とする．いま数列$\{a_n\}$の第$2$項が$a_2=8$であり，数列$\{b_n\}$の第$4$項が$b_4=14$であるとする．このとき$p\text{，}q$の値は$p=\boxed{\text{カ}}\text{，}q=\boxed{\text{キ}}$である．また，$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい等差数列$\{c_n\}$を作ると，$\{c_n\}$の初項の値は$\boxed{\text{ク}}\text{，}$公差の値は$\boxed{\text{ケ}}$である．また$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和は$n$の式で表すと$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$xy$平面における曲線$y=x^3+2x$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$は実数とする．曲線$C$上の点$(a,a^3+2a)$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(2,8)$を通る$C$の接線は$3$本あることを示せ．また，これら$3$本の接線の$C$との接点を$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$とし，それぞれの$x$座標を$r\text{，}s\text{，}t$（ただし，$r<s<t$）とするとき，$r\text{，}s\text{，}t$の値を求めよ．

(3)　$r\text{，}s\text{，}t$を(2)で求めた値とする．$xy$平面上の$3$点$(r,0)\text{，}(t,0)\text{，}(s,s^3+2s)$を通る放物線の方程式を求めよ．