2013　関西学院大　文学部個別日程2月3日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数

$f(x)=-x^2+2|x-{\displaystyle \frac{1}{2}}|+1$

は$x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲では$2$次関数$\boxed{\text{ア}}$で表され，$x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲では$2$次関数$\boxed{\text{イ}}$で表される．よって，$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$xy$平面における曲線$y=f(x)$と直線$y=a$との共有点の個数が$4$個となるような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{エ}}<a<\boxed{\text{オ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$は$x$の式であり，$\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$は数値である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　赤玉$4$個と白玉$3$個が入っている袋から玉を$4$個同時に取り出す．取り出した$4$個の中の赤玉の個数を$X$個とすると，$X=1$となる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．また$X=2$となる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．さらに$X=3$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$X=4$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．したがって$X$の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式

$1\leqq \sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta \leqq \sqrt{2}\cdots \text{①}$

を満たす$\theta$の値の範囲を求めよう．三角関数の合成により

$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =\boxed{\text{ア}}\sin (\theta +\boxed{\text{イ}})$（ただし，$0<\boxed{\text{イ}}<\pi$とする）

であるから，$\text{①}$は

$1\leqq \boxed{\text{ア}}\sin (\theta +\boxed{\text{イ}})\leqq \sqrt{2}$

と変形できる．よって$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$\text{①}$を満たす$\theta$の値の範囲は

$\boxed{\text{ウ}}\leqq \theta \leqq \boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{23}{12}}\pi$

である．ただし，$\boxed{\text{エ}}<\boxed{\text{オ}}$とし，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$はすべて数値である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(-1,3)\text{，}$$\overrightarrow{c}=(3,2)$に対して，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$の内積の値は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{カ}}$で，ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のなす角の値は$\boxed{\text{キ}}$である．また，実数$t$に対して$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値は$\boxed{\text{ク}}$で，そのときの$t$の値は$\boxed{\text{ケ}}$である．さらに，$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$が平行となる$t$の値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$xy$平面において，$y=x^3-3x$で表される曲線を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$を実数とする．$C$上の点$(a,a^3-3a)$における$C$の接線$l_a$の方程式を求めよ．

(2)　$b$を実数とする．接線$l_a$は点$(1,b)$を通るとする．このとき，$b$を$a$の式で表せ．

(3)　点$(1,-2)$を通る曲線$C$の接線の本数を求めよ．

(4)　$b$を実数とする．点$(1,b)$を通る曲線$C$の接線の本数が$3$本になるような$b$の値の範囲を求めよ．