2014 大学入試センター試験 本試験 数学II・数学IIBMathJax

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2014 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通問題

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  O を原点とする座標平面において,点 P ( p,q ) を中心とする円 C が,方程式 y =4 3 x で表される直線 l に接しているとする.

(1) 円 C の半径 r を求めよう.

 点 P を通り直線 l に垂直な直線の方程式は

y=- (x -p) +q

なので, P から l に引いた垂線と l の交点 Q の座標は

( 325 ( p+ q ), 425 ( p+ q ))

となる.

 求める C の半径 r は, P l の距離 PQ に等しいので

r= 15 | p- q |

である.

(2) 円 C が, x 軸に接し,点 R ( 2,2 ) を通る場合を考える.このとき, p>0 q>0 である. C の方程式を求めよう.

  C x 軸に接するので, C の半径 r q に等しい.したがって, により, p= q である.

  C は点 R を通るので,求める C の方程式は

(x - ) 2+ (y - ) 2=

または

( x- ) 2+ (y- ) 2=

であることがわかる.ただし, < とする.

(3) 方程式 の表す円の中心を S 方程式 の表す円の中心を T とおくと,直線 ST は原点 O を通り,点 O は線分 ST する. に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.



2014 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通問題

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 自然数 m n に対して,不等式

log2 m3 +log3 n2 3

を考える.

  m=2 n=1 のとき, log2 m3 +log3 n2 = であり,この m n の値の組は を満たす.

  m=4 n=3 のとき, log2 m3 +log3 n2 = であり,この m n の値の組は を満たさない.

 不等式 を満たす自然数 m n の組の個数を調べよう.

log2 m+ log 3n

と変形できる.

  n が自然数のとき, log3 n のとり得る最小の値は であるから, により, log2 m でなければならない. log2 m により, m= または m = でなければならない.ただし, < とする.

  m= の場合, は, log3 n となり, n2 ノハ と変形できる.よって, m= のとき, を満たす自然数 n のとり得る値の範囲は n である.したがって, m= の場合, を満たす自然数 m n の組の個数は である.

 同様にして, m= の場合, を満たす自然数 m n の組の個数は である.

 以上のことから, を満たす自然数 m n の組の個数は である.

2014 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  p を実数とし, f( x)= x3- px とする.

(1) 関数 f (x ) が極値をもつための p の条件を求めよう. f( x) の導関数は, f (x) = x -p である.したがって, f( x) x =a で極値をとるならば, a -p= が成り立つ.さらに, x=a の前後での f ( x) の符号の変化を考えることにより, p が条件 を満たす場合は, f( x) は必ず極値をもつことがわかる. に当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.


(2) 関数 f (x ) x = p3 で極値をとるとする.また,曲線 y =f( x) C とし, C 上の点 ( p3 , f( p3 ) ) A とする.

  f( x) x =p 3 で極値をとることから, p= であり, f( x) x = カキ で極大値をとり, x= で極小値をとる.

 曲線 C の接線で,点 A を通り傾きが 0 でないものを l とする. l の方程式を求めよう. l C の接点の x 座標を b とすると, l は点 ( b,f (b ) ) における C の接線であるから, l の方程式は b を用いて

y=( b2- ) (x-b )+f (b )

と表すことができる.また, l は点 A を通るから,方程式

b3- b2+ 1=0

を得る.この方程式を解くと, b= セソ であるが, l の傾きが 0 でないことから, l の方程式は

y= チツ x+

である.

 点 A を頂点とし,原点を通る放物線を D とする. l D で囲まれた図形のうち,不等式 x 0 の表す領域に含まれる部分の面積 S を求めよう. D の方程式は

y= x 2- x

であるから,定積分を計算することにより, S= ネノ 24 となる.

2014 大学入試センター試験 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 関数 y =sinx -cos2 x のグラフについて考えよう.ただし, 0x 2π とする.

(1) まず, y=sin x-cos 2x> 0 となる x の範囲を求めよう.

 三角関数の 2 倍角の公式を利用すれば

sinx- cos2 x= sin2 x+sin x- =( sinx- ) (sinx + )

である.よって, 0x 2π において, sinx- cos2 x=0 となる x の値は,小さい順に, π π π であることがわかる.また, y=sin x-cos 2x> 0 となる x の範囲は, である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0 0<x < π 1 π <x < π
2 π<x< π 3 π<x< 2π

(2) 次に, y=sin x-cos 2x の最大値と最小値を求めよう.

  から

sinx -cos2 x = ( sinx+ ) 2 -

である.

 よって, から, y=sin x-cos 2x は, x= において最大値 をとり, x= において最小値 テト をとることがわかる.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 9 のうちから一つずつ選べ. は解答の順序を問わない.

0 α 1 π 2-α 2 π 2 3 π 2+ α
4 π-α 5 π+α 6 3 2 π -α
7 3 2 π 8 3 2 π +α 9 2π -α

 ここで, α は, 0<α < π2 sinα = を満たすものとする.

(3) 以上のことから, 0x 2π における関数 y =sinx -cos2 x のグラフの概形として適切なものは であることがわかる. に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

0 2014年センター試験本試験数II【3】の図1 2014年センター試験本試験数II【3】の図2 2014年センター試験本試験数II【3】の図
3 2014年センター試験本試験数II【3】の図4 2014年センター試験本試験数II【3】の図5 2014年センター試験本試験数II【3】の図

2014 大学入試センター試験 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  c d を実数とし, x についての 3 次式 P (x )

P( x)= x3+ cx2 +dx +2

で定める. P( x) は, P( -1)= 0 P( 2)<- 2 を満たし, 3 以上の自然数 n に対しては P (n )0 であるとする.

  P( -1)= 0 により

d=c+

となり, P( x) c を用いて

P( x)= (x+ ){ x2+ ( - ) x+ }

と因数分解される. を用いて, P( 2)< -2 c について解くと

c<-

となる.

 また, n 3 以上の自然数とするとき,不等式 P (n )0 c について解くと

c- n+ -n

となる. n3 のとき, n の値が大きくなると, の右辺の値は小さくなる.したがって, により, c のとり得る値の範囲は

- c <-

となる.

  3 次関数 y =P( x) のグラフを考えると, P( 0)= 2>0 かつ P (2 )<0 であるから,方程式 P (x )=0 0 2 の間に実数解 α をもつ. α のとり得る値の範囲を求めよう.

  により,この α は, 2 次方程式

x2+ ( - ) x+ =0

の解である.この方程式の他の解を β とすると,解と係数の関係により, α+β c を用いて

α+β = -

と表される.したがって, により

スセ <α+ β タチ

が得られる.解と係数の関係により, αβ = であり,また, α>0 であるから,

スセ α <α2 + タチ α

と変形できる.この不等式を α について解いて, 0<α <2 に注意すると, α のとり得る値の範囲は

α< -

であることがわかる.

2014 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { an } の初項は 6 であり, {a n} の階差数列は初項が 9 公差が 4 の等差数列である.

(1)  a2 = アイ a 3= ウエ である.数列 { an } の一般項を求めよう. {a n} の階差数列の第 n 項が n+ であるから,数列 { an } の一般項は

an = n + n+

である.

(2) 数列 { bn } は,初項が 25 で,漸化式

bn+ 1= a na n+1 -1 bn n= 1 2 3

を満たすとする. b2 = シス である.数列 { bn } の一般項と初項から第 n 項までの和 S n を求めよう.

  ①, により,すべての自然数 n に対して

bn +1= n+ n+ bn

が成り立つことがわかる.

 ここで

cn =( n+ ) bn

とするとき, c n c n+1 を用いて変形すると,すべての自然数 n に対して

( n+ ) cn+ 1= ( n+ ) cn

が成り立つことがわかる.これにより

dn= ( n+ ) cn

とおくと,すべての自然数 n に対して, dn+ 1= dn が成り立つことがわかる. d1 = であるから,すべての自然数 n に対して, dn = である.したがって, により,数列 { bn } の一般項は

bn= ( n+ ) ( n+ )

である.また

bn= n+ - n+

が成り立つことを利用すると,数列 { bn } の初項から第 n 項までの和 S n

Sn= n n+

であることがわかる.

2014 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 座標空間において,立方体 OABC DEFG の頂点を

O (0 ,0,0 ) A (3 ,0,0 ) B (3 ,3,0 ) C (0 ,3,0 )

D (0 ,0,3 ) E (3 ,0,3 ) E (3 ,3,3 ) G (0 ,3,3 )

とし, OD 2 :1 に内分する点を K OA 1 :2 に内分する点を L とする. BF 上の点 M FG 上の点 N および K L 4 点は同一平面上にあり,四角形 KLMN は平行四辺形であるとする.

(1) 四角形 KLMN の面積を求めよう.ベクトル LK を成分で表すと

LK =( アイ , , )

となり,四角形 KLMN が平行四辺形であることにより, LK = である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

 ここで, M (3 ,3,s ) N (t ,3,3 ) と表すと, LK = であるので, s= t= となり, N FG 1 : に内分することがわかる.

 また, LK LM について

LK LM = | LK |= | LM |= サシ

となるので,四角形 KLMN の面積は スセ である.

(2) 四角形 KLMN を含む平面を α とし,点 O を通り平面 α と垂直に交わる直線を l α l の交点を P とする. |OP | と三角 すい OLMN の体積を求めよう.

  P (p ,q,r ) とおくと, OP LK および LM と垂直であるから, OP LK = OP LM = となるので, p= r p= チツ r であることがわかる. OP PL が垂直であることにより r = ナニ となり, |OP | を求めると

| OP |= ネノ ハヒ

である. |OP | は三角形 LMN を底面とする三角錐 OLMN の高さであるから,三角錐 OLMN の体積は である.

2014 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

 英語 数学
生徒1 9 15
生徒2 20 20
生徒3 18 14
生徒4 18 17
生徒5A 8
生徒6 18C
生徒7 14D
生徒8 15 14
生徒9 18 15
平均値 16.0 15.0
分 散B 10.00
相関係数 0.500

【5】 右の表は,あるクラスの生徒 9 人に対して行われた英語と数学のテスト(各 20 点満点)の得点をまとめたものである.ただし,テストの得点は整数値である.また,表の数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていないものとする.

 以下,小数の形で解答する場合,指定された けた 数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合,指定された桁まで 0 にマークすること.

(1) 生徒5の英語の得点A アイ 点であり, 9 人の英語の得点の分散Bの値は ウエ . オカ である.また, 9 人の数学の得点の平均値が 15.0 点であることと,英語と数学の得点の相関係数の値が 0.500 であることから,生徒6の数学の得点Cと生徒7の数学の得点Dの関係式

C+ D= キク

C- D=

が得られる.したがって,C コサ 点,D シス 点である.

(2)  9 人の英語と数学の得点の相関図(散布図)として適切なものは である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0 1
2014年センター試験本試験数学IIB【5】の図 2014年センター試験本試験数学IIB【5】の図
2 3
2014年センター試験本試験数学IIB【5】の図 2014年センター試験本試験数学IIB【5】の図
 英語 数学
生徒1 9 15
生徒2 20 20
生徒3 18 14
生徒4 18 17
生徒5A 8
生徒6 18C
生徒7 14D
生徒8 15 14
生徒9 18 15
生徒10 6F
平均値E 14.0
分 散 18.00 18.00
相関係数 0.750

(3) 生徒10が転入したので,その生徒に対して同じテストを行った.右の表は,はじめの 9 人の生徒に生徒10を加えた 10 人の得点をまとめたものである.ただし,表の数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていないものとする.

  10 人の英語の得点の平均値E ソタ . 点であり,生徒10の数学の得点F 点である.

(4) 生徒10が転入した後で 1 人の生徒が転出した.残った 9 人の生徒について,英語の得点の平均値は 10 人の平均値と同じ ソタ . 点,数学の得点の平均値は 10 人の平均値と同じ 14.0 点であった.転出したのは生徒 である.また,英語について, 10 人の得点の分散の値を v 残った 9 人の得点の分散の値を v とすると

vv =

が成り立つ.さらに, 10 人についての英語と数学の得点の相関係数の値を r 残った 9 人についての英語と数学の得点の相関係数の値を r とすると

rr =

が成り立つ. に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.

0 -1 1 1 2 910
3 ( 910 )2 4 109 5 ( 109 )2

2014 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】  2 以上の自然数 N に対して, 1 から N までの自然数の積

N!=1 ×2× ×N

の素因数分解を考える.

(1)  N=6 のとき, N! の素因数分解は 6 !=2 ×3 ×5 である. 6! は,素因数 2 個,素因数 3 個,素因数 5 1 個もつ.

(2)  N! がもつ素因数 2 の個数を求める方法について考えよう.

 まず, N 2 の整数部分を M とおく. N 以下の自然数の中には, M 個の偶数 2 4 2M がある.その他の奇数の積を Q とおくと, N! は次のように表すことができる.

N!= Q×2× 4× ×2M =Q× 2M× M!

したがって, N! は少なくとも M 個の素因数 2 をもつことがわかる.さらに, M! がもつ素因数 2 の個数を求めるために, N! に対する手順を M ! に対して再び用いることができる.

 つまり, N! がもつ素因数 2 の個数を求めるためには, N から N2 の整数部分である M を求め, M を改めて N と考えて,同じ手順を用いて新しく M を求める,という手順の繰り返しを M <2 となるまで行えばよい.この手順の繰り返しで求められたすべての M の和が, N! がもつ素因数分解 2 の個数である.

 たとえば, N=13 の場合には, 13 2= 6.5 であるから, M=6 となる.この手順を繰り返して M を求めた結果は, N から M を求める手順を矢印( )で表すと,次のようにまとめられる.

136 3 1

太字で表された 6 3 1 が,この手順を繰り返して求められた M の値である.それらの和 6 +3+1 =10 が, 13! のもつ素因数 2 の個数である.

 この手順にしたがって, 2 以上の自然数 N を入力して, N! がもつ素因数 2 の個数を出力する〔プログラム1〕を作成した.ただし,INT (X) X を越えない最大の整数を表す関数である.

〔プログラム1〕

  • 100 INPUT PROMPT "N=":N
  • 110 LET D=2
  • 120 LET C=0
  • 130 LET M=N
  • 140 FOR J=1 TO N
  • 150  LET M=INT(M/D)
  • 160  LET
  • 170  IF THEN GOTO 190
  • 180 NEXT J
  • 190 PRINT "素因数";D"";C;""
  • 200 END

 〔プログラム1〕の に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

 〔プログラム1〕を実行し,変数N101を入力する.170行の「GOTO 190」が実行されるときの変数Jの値は である.また,190行で出力される変数Cの値は カキ である.

(3)  N! がもつ素因数 2 の個数を求める方法は,他の素因数の個数についても同様に適用できる.たとえば, N! がもつ素因数 5 の個数を求める場合は,まず, N 5 の整数部分を M とおく. N 以下の自然数の中には M 個の 5 の倍数があるので, N! は少なくとも M 個の素因数 5 をもつ.また,これらの M 個の 5 の倍数を 5 で割った商は 1 2 M である. M! の中の素因数 5 の個数を求めるためには, M N と考えて,同じ手順を繰り返せばよい.

 したがって, N! がもつ素因数 5 の個数を求めるためのには,〔プログラム1〕の クケコ 行を に変更すればよい. に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

 変更した〔プログラム1〕を実行することにより, 2014! は素因数 5 シスセ 個もつことがわかる.したがって, 2014! がもつ素因数 2 の個数と素因数 5 の個数について考えることにより, 2014! 10 で割り切れる限り割り続けると, ソタチ 回割れることがわかる.

(4)  N 以下のすべての素数が, N! の素因数として含まれる.その個数は,素数 2 や素数 5 の場合と同様に求められる. N 以下のすべての素因数について, N! がもつ素因数とその個数を順に出力するように,〔プログラム1〕を変更して〔プログラム2〕を作成した.行番号に下線が引かれた行は,変更または追加された行である.

 ただし,繰り返し処理「FOR K=A TO B ~ NEXT K」において,ABより大きい場合,この繰り返し処理は実行されず次の処理に進む.

〔プログラム2〕

  • 100 INPUT PROMPT "N=":N
  • 110 FOR D=2 TO N
  • 111  FOR K=2 TO D-1
  • 112   IF THEN
  • 113  NEXT K
  • 120  LET C=0
  • 130  LET M=N
  • 140  FOR J=1 TO N
  • 150   LET M=INT(M/D)
  • 160   LET
  • 170   IF THEN GOTO 190
  • 180  lNEXT J
  • 190  PRINT "素因数";D;"";C;""
  • 191 NEXT D
  • 200 END

 〔プログラム2〕の111行から113行までの処理は,Dが素数であるかどうかを判定するためのものである. に当てはまるものを,次の 0 8 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.

 〔プログラム2〕を実行し,変数N26を入力したとき,190行は 回実行される. 回のうち,変数Cの値が 2 となるのは 回である.

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