2014　北海道大学　前期MathJax

【１】　$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=-x^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}{C}_2\text{：}y={(x-a)}^2+a\text{（}a>0\text{）}$

がある．点${\mathrm{P}}_1(p,-p^2+{\displaystyle \frac{3}{2}})$における$C_1$の接線を$l_1$とする．

(1)　$C_1$と$C_2$が共有点を持たないための$a$に関する条件を求めよ．

(2)　$l_1$と平行な$C_2$の接線$l_2$の方程式と，$l_2$と$C_2$の接点${\mathrm{P}}_2$の座標を$a\text{，}p$を用いて表せ．

(3)　$C_1$と$C_2$が共有点をもたないとする．(2)で求めた${\mathrm{P}}_2$と${\mathrm{P}}_1$を結ぶ線分が$l_1$と垂直になるとき，$p$を求めよ．

【２】　次の条件で定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=1\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}+3a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　以下が成立するように，実数$s\text{，}t\text{（}s>t\text{）}$を定めよ．

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+2}-s{a}_{n+1}=t(a_{n+1}-s{a}_n)\\ a_{n+2}-t{a}_{n+1}=s(a_{n+1}-t{a}_n)\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$を線分$\mathrm{BC}$を斜辺とする直角二等辺三角形とし，その外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．正の実数$p$に対して，$\mathrm{BC}$を$(p+1):p$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と$▵\mathrm{ABC}$の外接円との交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{X}$とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}p$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}p$を用いて表せ．

【４】　図のような格子状の道路がある．$\mathrm{S}$地点を出発して，東または北に進んで$\mathrm{G}$地点に到達する経路を考える．ただし太い実線で描かれた区間$a$を通り抜けるのに$1$分，点線で書かれた区間$b$を通り抜けるのに$8$分，それ以外の各区間を通り抜けるのに$2$分かかるものとする．たとえば，図の矢印に沿った経路では$\mathrm{S}$を出発し$\mathrm{G}$に到達するまでに$16$分かかる．

(1)　$a$を通り抜ける経路は何通りあるか．

(2)　$a$を通り抜けずに$b$を通り抜ける経路は何通りあるか．

(3)　すべての経路から任意に$1$つ選んだとき，$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に到達するのにかかる時間の期待値を求めよ．

【１】　$f(x)=x^4-4x^3-8x^2$とする．

(1)　関数$f(x)$の極大値と極小値，およびそのときの$x$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$に$2$点$(a,f(a))$と$(b,f(b))\text{（}a<b\text{）}$で接する直線の方程式を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=90\mathrm{°}$をみたす．辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{OP}=p\text{，}\mathrm{OQ}=q\text{，}pq={\displaystyle \frac{1}{2}}$となるようにとる．$p+q=t$とし，$▵\mathrm{CPQ}$の面積を$S$とする．

(1)　$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$S$を$t$で表せ．

(3)　$S$の最小値，およびそのときの$p\text{，}q$を求めよ．

【３】　逆行列をもつ$2$次の正方行列，$A_1\text{，}{A}_2\text{，}{A}_3\text{，}\cdots$が，関係式

$A_{n+1}{A}_n=A_n+2E\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすとする．さらに$A_1+E$は逆行列をもつとする．ここで$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)　すべての自然数$n$に対して$A_n+E$は逆行列をもち，

${(A_{n+1}+E)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{A}_n{(A_n+E)}^{-1}$

が成立することを示せ．

(2)　$B_n=(2E-A_n){(A_n+E)}^{-1}$により，行列$B_n$を定める．$B_{n+1}$と$B_n$との間に成立する関係式を求め，$B_n$を$B_1$と$n$を用いて表せ．

【５】　$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+\frac{\pi }{3}}}|\sin \theta |d\theta$とおく．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$における$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$を求めよ．