2014　北海道大学　後期MathJax

【１】　$p$を素数とする．整数を係数とする$n$次多項式$f(x)\text{（}n\geqq 1\text{）}$で，以下の$3$条件を同時にみたしているものをすべて求めよ．

・$x^n$の係数は$1$，

・$f(0)=p$，

・方程式$f(x)=0$の解は相異なる$n$個の整数．

【２】　$f(x)=ax(1-x)$に対し，$g(x)=f(f(x))$とする．ここで$a$は正の実数とする．

(1)　$g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$を$a$の関数とみなす．その関数の最大値，およびそのときの$a$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$において，$g(x)$が$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$で最大値をとるような$a$の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲を動くとき，$g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$の値が最大となる$a$を求めよ．

【３】(1)　双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{4}}-{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$と直線$y=ax+b$が共有点を持つような$(a,b)$全体からなる領域$E$を$ab$平面上に図示せよ．

(2)　(1)の領域$E$を$(a,b)$が動くとき，${(a-15)}^2+b^2$ の最小値，およびそのときの$(a,b)$を求めよ．

【４】(1)　すべての正の実数$x$に対して不等式${\displaystyle \frac{a}{x^2+1}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{x}}$が成立するような実数$a$のうちで最大となるものを求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{dx}{x^2+1}}$を求めよ．

(3)　円周率$\pi$と$\log 27$の大小を判定せよ．ただし$\log x$は$x$の自然対数とする．